Светлана готовилась к олимпиаде Учи.ру по математике и в течение  16 16 дней решала задачи. В первый день она решила  8 8 задач, а в каждый следующий день на  3 3 задачи больше, чем в предыдущий. Сколько всего задач решила Светлана?

Чтобы решить задачу, начнем с того, что мы знаем: Светлана решала задачи в течение 16 дней, начиная с 8 задач в первый день и увеличивая количество задач на 3 каждый следующий день. 1. **Запишем количество задач, решенных Светланой в каждый день:** - В первый день: \(8\) задач - Во второй день: \(8 + 3 = 11\) задач - В третий день: \(11 + 3 = 14\) задач - В четвертый день: \(14 + 3 = 17\) задач - И так далее... Мы можем заметить, что количество задач в \(n\)-й день можно выразить формулой: \[ a_n = 8 + (n - 1) \cdot 3, \] где \(a_n\) — количество задач в \(n\)-й день, \(n\) — номер дня. 2. **Формула для количества задач в любой день:** - Подставив \(n\), получаем: \[ a_n = 8 + 3(n - 1) = 3n + 5. \] 3. **Теперь найдем общее количество задач, решенных за 16 дней.** - Сначала найдем количество задач за каждый день от 1 до 16: - Для первого дня: \(a_1 = 8\) - Для второго дня: \(a_2 = 11\) - Для третьего дня: \(a_3 = 14\) - … - Для 16 дня: \[ a_{16} = 8 + 3(16 - 1) = 8 + 3 \cdot 15 = 8 + 45 = 53. \] 4. **Теперь найдем общее количество задач за все дни.** Мы можем просто просуммировать все 16 значений: \[ S = a_1 + a_2 + ... + a_{16}. \] 5. **Так как это арифметическая прогрессия, можно использовать формулу для суммы:** Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n), \] где \(n\) — количество членов, \(a_1\) — первый член, \(a_n\) — последний член. Подставляя наши значения: - \(n = 16\), \(a_1 = 8\), \(a_{16} = 53\), \[ S_{16} = \frac{16}{2} \cdot (8 + 53) = 8 \cdot 61 = 488. \] Итак, Светлана решила всего \( \boxed{488} \) задач.