Для решения этой задачи нам нужно определить, в каких случаях слова с частицей "не" пишутся слитно. Это правило зависит от контекста и от того, можно ли "не" считать значащей частью слова. В отношении прилагательных и причастий, если "не" меняет смысл слова, то пишется слитно; если нет — раздельно. Также "не" с глаголами и наречиями может писаться слитно, если это слово употребляется в переносном значении или в утвердительной форме.
Теперь давайте разберем каждый предложенный вариант.
Ты хочешь (НЕ)ВОЛИТЬ сына учиться этому ремеслу, к которому у него душа не лежит?
- "НЕ" с "ВОЛИТЬ" пишется раздельно, так как "не" показывает отрицание действия.
Рукава кофты матери (НЕ)ЗАСУЧЕНЫ, на лице её выступали капли пота.
- "НЕ" с "ЗАСУЧЕНЫ" пишется раздельно, поскольку оно не образует нового значения.
(НЕ)ЖЕЛАЯ ничего делать, он улёгся на диване.
- "НЕ" с "ЖЕЛАЯ" пишется слитно, так как это причастие с "не" в отрицательном значении.
Ему (НЕ)КОГДА было съездить в город.
- "НЕ" с "КОГДА" пишется раздельно, так как "не" здесь просто подчеркивает отсутствие возможности.
Лукерья рассказ свой вела почти весело, (НЕ)НАПРАШИВАЯСЬ на участие.
- "НЕ" с "НАПРАШИВАЯСЬ" пишется слитно, так как это причастие с частью "не".
Итак, правильные варианты ответов, в которых "не" пишется слитно, это 3 и 5.
Ответ: 3, 5.