f(x)=3√x+cos5x-x/5 туындысын тап

Для нахождения производной функции \( f(x) = 3\sqrt{x} + \cos(5x) - \frac{x}{5} \) будем использовать правила дифференцирования: производную суммы, производную корня и производную косинуса.

1. Дифференцируем \( 3\sqrt{x} \): \[ \sqrt{x} = x^{1/2} \] Используя правило дифференцирования степени, получаем: \[ \frac{d}{dx}(x^{1/2}) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] Таким образом, производная \( 3\sqrt{x} \) будет: \[ \frac{d}{dx}(3\sqrt{x}) = 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} \]

2. Дифференцируем \( \cos(5x) \): Используем цепное правило: \[ \frac{d}{dx}(\cos(5x)) = -\sin(5x) \cdot \frac{d}{dx}(5x) = -5\sin(5x) \]

3. Дифференцируем \( -\frac{x}{5} \): Это линейная функция, производная которой равна: \[ \frac{d}{dx}\left(-\frac{x}{5}\right) = -\frac{1}{5} \]

Теперь складываем все найденные производные: \[ f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 5\sin(5x) - \frac{1}{5} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) \) равна: \[ f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 5\sin(5x) - \frac{1}{5} \]