Текшенің қырын 2 м ұзартқанда, оның көлемі 98 м артты. Бастапқы текшенің қырының ұзындығын анықтаңыз. 2. Жаяу адам 10 км жолды белгілі бір жылдамдықпен жүру керек еді, бірақ ол…

Давайте разберем обе задачи поэтапно.

Задача 1:

Условие: Текшенің қырын 2 м ұзартқанда, оның көлемі 98 м артты. Бастапқы текшенің қырының ұзындығын анықтаңыз.

Решение:

1. Обозначим длину стороны исходного куба как \( x \) метров.
2. Объем куба рассчитывается по формуле: \[ V = x^3 \]
3. Когда мы увеличиваем сторону куба на 2 метра, новая длина стороны будет \( x + 2 \).
4. Объем нового куба будет: \[ V_{\text{новый}} = (x + 2)^3 \]
5. Из условия задачи мы знаем, что новый объем больше старого на 98 м³: \[ (x + 2)^3 = x^3 + 98 \]
6. Раскроем скобки в левом уравнении: \[ (x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 \]
7. Подставим это в наше уравнение: \[ x^3 + 6x^2 + 12x + 8 = x^3 + 98 \]
8. Упростим уравнение, вычтя \( x^3 \) с обеих сторон: \[ 6x^2 + 12x + 8 = 98 \]
9. Упростим уравнение, вычтя 98 с обеих сторон: \[ 6x^2 + 12x + 8 - 98 = 0 \] или \[ 6x^2 + 12x - 90 = 0 \]
10. Разделим все уравнение на 6: \[ x^2 + 2x - 15 = 0 \]
11. Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 \]
12. Находим корни уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 8}{2} \] Это дает нам: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-10}{2} = -5 \] Мы можем отбросить отрицательное значение, поэтому: \[ x = 3 \]

Ответ:

Сторона исходного куба равна 3 метра.

Задача 2:

Условие: Жаяу адам 10 км жолды белгілі бір жылдамдықпен жүру керек еді, бірақ ол жылдамдығын 1 км/сағат арттырып, 10 км жолды 20 мин тезірек жүріп өтті. Жаяу адамның алғашқы жылдамдығын табыңыз.

Решение:

1. Обозначим исходную скорость пешехода как \( v \) км/ч.
2. Время, которое он должен был потратить при этой скорости на 10 км: \[ t_{\text{исходный}} = \frac{10}{v} \, \text{ч} \]
3. Если он увеличил свою скорость на 1 км/ч, новая скорость будет \( v + 1 \) км/ч.
4. Время, затраченное на тот же путь с новой скоростью: \[ t_{\text{новый}} = \frac{10}{v + 1} \, \text{ч} \]
5. Из условия задачи знаем, что новое время менее старого на 20 минут, что эквивалентно \(\frac{1}{3}\) часа: \[ t_{\text{исходный}} - t_{\text{новый}} = \frac{1}{3} \]
6. Подставляем выражения для времени: \[ \frac{10}{v} - \frac{10}{v + 1} = \frac{1}{3} \]
7. Умножим все на \( 3v(v + 1) \) для устранения знаменателей: \[ 30(v + 1) - 30v = v(v + 1) \]
8. Упростим: \[ 30 = v^2 + v \]
9. Перепишем уравнение: \[ v^2 + v - 30 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121 \]
11. Находим корни: \[ v = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2} \] Мы получаем: \[ v_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad v_2 = \frac{-12}{2} = -6 \] Отбросим отрицательное значение, поэтому: \[ v = 5 \]

Ответ:

Первоначальная скорость пешехода равна 5 км/ч.