Чтобы решить задачу, начнем с формулы объема конуса. Объем ( V ) конуса можно вычислить по следующей формуле:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
где:
- ( r ) — радиус основания конуса,
- ( h ) — высота конуса,
- ( \pi ) — число Пи (примерно 3,14).
Шаг 1: Определить параметры первого конуса
Из условия нам известно, что объем первого конуса равен 60 м³:
[
V_1 = 60
]
Обозначим радиус и высоту первого конуса как ( r_1 ) и ( h_1 ), соответственно. Тогда мы можем записать:
[
\frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = 60
]
Шаг 2: Найти параметры второго конуса
Теперь проанализируем второй конус. Из условия сказано, что:
- Высота второго конуса в 3 раза меньше высоты первого, т.е. ( h_2 = \frac{h_1}{3} ).
- Радиус основания второго конуса в 2 раза больше, т.е. ( r_2 = 2r_1 ).
Шаг 3: Подставить параметры второго конуса в формулу объема
Теперь можем выразить объем второго конуса ( V_2 ):
[
V_2 = \frac{1}{3} \pi r_2^2 h_2
]
Подставим значения ( r_2 ) и ( h_2 ):
[
V_2 = \frac{1}{3} \pi (2r_1)^2 \left(\frac{h_1}{3}\right)
]
Шаг 4: Упростить выражение
Теперь упростим это выражение:
[
V_2 = \frac{1}{3} \pi (4r_1^2) \left(\frac{h_1}{3}\right)
]
[
V_2 = \frac{4}{9} \pi r_1^2 h_1
]
Шаг 5: Использовать известный объем первого конуса
Напоминаем, что объем первого конуса равен:
[
V_1 = \frac{1}{3} \pi r_1^2 h_1 = 60
]
Теперь подставим это значение в наше уравнение для ( V_2 ):
[
V_2 = \frac{4}{9} \cdot V_1
]
Шаг 6: Подставить значение объема первого конуса
Теперь подставим ( V_1 = 60 ):
[
V_2 = \frac{4}{9} \cdot 60 = \frac{240}{9} \approx 26.67
]
Ответ
Таким образом, объем второго конуса составляет примерно ( 26.67 ) м³.
