Обозначим:
- ( v_t ) — скорость теплохода относительно воды,
- ( v_c ) — скорость течения реки,
- ( L ) — расстояние от Северного речного вокзала до причала «Коломенское».
При движении от Северного речного вокзала к причалу «Коломенское» (по течению) скорость теплохода будет равна ( v_t + v_c ). Время, которое требуется теплоходу для этого пути, можно записать как:
[
t_1 = \frac{L}{v_t + v_c}
]
При движении обратно (против течения) скорость будет равна ( v_t - v_c ), и время можно записать как:
[
t_2 = \frac{L}{v_t - v_c}
]
Согласно условию, теплоход доплыл по течению в 1,05 раз быстрее, чем против течения. Поэтому можно записать равенство:
[
t_1 = \frac{t_2}{1.05}
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{L}{v_t + v_c} = \frac{1}{1.05} \cdot \frac{L}{v_t - v_c}
]
Сократим ( L ) (при условии, что ( L \neq 0 )):
[
\frac{1}{v_t + v_c} = \frac{1}{1.05} \cdot \frac{1}{v_t - v_c}
]
Теперь, перемножим обе части на ( (v_t + v_c)(v_t - v_c) ):
[
v_t - v_c = \frac{1}{1.05} (v_t + v_c)
]
Умножим обе стороны на ( 1.05 ):
[
1.05(v_t - v_c) = v_t + v_c
]
Раскроем скобки:
[
1.05v_t - 1.05v_c = v_t + v_c
]
Соберем все члены с ( v_t ) и ( v_c ) по разные стороны:
[
1.05v_t - v_t = 1.05v_c + v_c
]
[
0.05v_t = 2.05v_c
]
Теперь найдем отношение ( \frac{v_t}{v_c} ):
[
\frac{v_t}{v_c} = \frac{2.05}{0.05} = 41
]
Таким образом, отношение скорости теплохода относительно воды к скорости течения реки равно:
[
\frac{v_t}{v_c} = 41
]
