Для решения задачи необходимо понять, какие из предложенных прямых являются секущими к окружности с центром в точке K и радиусом 25 см.
Шаг 1: Понимание терминов
- Секущая — это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.
- Квадрат GHKP — это квадрат, у которого все стороны равны, в данном случае по 30 см.
Шаг 2: Нахождение координат точек квадрата
Предположим, что квадрат расположен в координатной системе следующим образом:
- G(0, 30)
- H(0, 0)
- K(30, 0)
- P(30, 30)
Точка K (30, 0) — это центр окружности.
Шаг 3: Нахождение уравнения окружности
Уравнение окружности с центром в точке K (30, 0) и радиусом 25 см выглядит как:
[
(x - 30)^2 + (y - 0)^2 = 25^2
]
или
[
(x - 30)^2 + y^2 = 625
]
Шаг 4: Определение секущих
Теперь проверим, является ли каждая из прямых GHKP секущей.
Прямая HG:
- Уравнение прямой: y = 30 (горизонтальная линия, идти по x от 0 до 30).
- Подставляем в уравнение окружности:
[
(x - 30)^2 + 30^2 = 625 \Rightarrow (x - 30)^2 + 900 = 625
]
[
(x - 30)^2 = -275 \text{ (нет решений, не секущая)}
]
Прямая HK:
- Уравнение прямой: x = 0 (вертикальная линия, наклонена от 0 до 30 по y).
- Подставляем в уравнение окружности:
[
(0 - 30)^2 + y^2 = 625 \Rightarrow 900 + y^2 = 625
]
[
y^2 = -275 \text{ (нет решений, не секущая)}
]
Прямая KP:
- Уравнение прямой: x = 30 (вертикальная линия, наклонена от 0 до 30 по y).
- Подставляем:
[
(30 - 30)^2 + y^2 = 625 \Rightarrow 0 + y^2 = 625 \Rightarrow y = 25 \text{ или } y = -25
]
Здесь y может принимать два значения, значит прямая KP пересекает окружность в двух точках (25 и -25). Это секущая.
Прямая PG:
- Уравнение прямой: y = x (высота от 0 до 30 по обеим осям).
- Подставляем:
[
(y - 30)^2 + y^2 = 625
]
Упрощая это уравнение, мы можем выяснить, пересекает ли данная прямая окружность.
Шаг 5: Заключение
Из всех предложенных линий, KP является секущей окружности. Остальные линии, GHK и PG, не пересекают окружность.
Таким образом, верный ответ: Прямая KP является секущей окружности.
