Решить задачу по высшей математике

Хорошо, давай разберёмся с этой задачей по высшей математике шаг за шагом. Нам нужно найти собственный вектор матрицы \( A \) методом обратных итераций.

Итак, дана матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -3 \\ -8 & -5 & 3 \\ 2 & 7 & 7 \end{pmatrix} \]

и приближённое значение собственного числа \( \lambda \approx 4.7 \).

В методе обратных итераций используется приближённое значение собственного числа для того, чтобы улучшить наше приближение собственного вектора. Начальное приближение собственного вектора \( x^{(0)} \) задано как \( (1,1,1)^T \).

Обратные итерации включают в себя следующие шаги:

1. Решаем систему \( (A - \lambda I)x^{(1)} = x^{(0)} \) для нового вектора \( x^{(1)} \).

2. Нормализуем вектор \( x^{(1)} \), то есть делим его на его норму, чтобы он стал единичным.

3. Повторяем шаги 1 и 2 для \( x^{(1)} \), чтобы получить \( x^{(2)} \), и так далее.

Начнём с первой итерации. Для начала надо вычесть \( \lambda \) из диагональных элементов матрицы \( A \):

[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 8-4.7 & -1 & -3 \ -8 & -5-4.7 & 3 \ 2 & 7 & 7-4.7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix