найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x, y=15-x, x=1, x=7
Давайте решим задачу по нахождению площади фигуры, ограниченной заданными линиями. Мы рассмотрим каждую из указаннных линий и найдем нужные точки пересечения.
Шаг 1: Определение линий
- Линия 1: \( y = x \)
- Линия 2: \( y = 15 - x \)
- Вертикальные линии: \( x = 1 \) и \( x = 7 \)
Шаг 2: Найдем точки пересечения
Для нахождения площадей под кривыми мы сначала определяем точки пересечения линий. Подставим \( y = x \) в уравнение второй линии:
\[ x = 15 - x \]
Решим это уравнение:
\[ 2x = 15 \\ x = 7.5 \]
Теперь найдем значение \( y \):
\[ y = 7.5 \]
Таким образом, мы получили точку пересечения линий \( y = x \) и \( y = 15 - x \) — это точка \( (7.5, 7.5) \).
Шаг 3: Определение области интегрирования
Мы видим, что наши вертикальные линии \( x = 1 \) и \( x = 7 \) пересекают фигуру между линиями \( y = x \) и \( y = 15 - x \).
Шаг 4: Площадь фигуры
Чтобы найти площадь фигуры, воспользуемся интегрированием. Площадь определяется как интеграл разности верхней функции и нижней. В этом случае:
- Верхняя функция на интервале от \( x = 1 \) до \( x = 7 \) — это \( y = 15 - x \).
- Нижняя функция на том же интервале — \( y = x \).
Площадь \( S \) вычисляется следующим образом:
\[ S = \int_{1}^{7} \left( (15 - x) - x \right) \, dx = \int_{1}^{7} (15 - 2x) \, dx \]
Шаг 5: Вычисление интеграла
Теперь проведем интегрирование:
\[ S = \int_{1}^{7} (15 - 2x) \, dx \]
Вычислим интеграл:
- Найдем первообразную:
\[ \int (15 - 2x) \, dx = 15x - x^2 + C \]
- Подставляем пределы:
\[ S = \left[ 15x - x^2 \right]_{1}^{7} \]
Подставим верхний предел \( x = 7 \):
\[ = 15(7) - (7)^2 = 105 - 49 = 56 \]
Теперь подставим нижний предел \( x = 1 \):
\[ = 15(1) - (1)^2 = 15 - 1 = 14 \]
Теперь вычтем:
\[ S = 56 - 14 = 42 \]
Ответ
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x \), \( y = 15 - x \), \( x = 1 \) и \( x = 7 \), составляет \( 42 \) квадратных единиц.
