Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x, y=15-x, x=1, x=7

Давайте решим задачу по нахождению площади фигуры, ограниченной заданными линиями. Мы рассмотрим каждую из указаннных линий и найдем нужные точки пересечения. ### Шаг 1: Определение линий 1. **Линия 1:** \( y = x \) 2. **Линия 2:** \( y = 15 - x \) 3. **Вертикальные линии:** \( x = 1 \) и \( x = 7 \) ### Шаг 2: Найдем точки пересечения Для нахождения площадей под кривыми мы сначала определяем точки пересечения линий. Подставим \( y = x \) в уравнение второй линии: \[ x = 15 - x \] Решим это уравнение: \[ 2x = 15 \\ x = 7.5 \] Теперь найдем значение \( y \): \[ y = 7.5 \] Таким образом, мы получили точку пересечения линий \( y = x \) и \( y = 15 - x \) — это точка \( (7.5, 7.5) \). ### Шаг 3: Определение области интегрирования Мы видим, что наши вертикальные линии \( x = 1 \) и \( x = 7 \) пересекают фигуру между линиями \( y = x \) и \( y = 15 - x \). ### Шаг 4: Площадь фигуры Чтобы найти площадь фигуры, воспользуемся интегрированием. Площадь определяется как интеграл разности верхней функции и нижней. В этом случае: - Верхняя функция на интервале от \( x = 1 \) до \( x = 7 \) — это \( y = 15 - x \). - Нижняя функция на том же интервале — \( y = x \). Площадь \( S \) вычисляется следующим образом: \[ S = \int_{1}^{7} \left( (15 - x) - x \right) \, dx = \int_{1}^{7} (15 - 2x) \, dx \] ### Шаг 5: Вычисление интеграла Теперь проведем интегрирование: \[ S = \int_{1}^{7} (15 - 2x) \, dx \] Вычислим интеграл: 1. Найдем первообразную: \[ \int (15 - 2x) \, dx = 15x - x^2 + C \] 2. Подставляем пределы: \[ S = \left[ 15x - x^2 \right]_{1}^{7} \] Подставим верхний предел \( x = 7 \): \[ = 15(7) - (7)^2 = 105 - 49 = 56 \] Теперь подставим нижний предел \( x = 1 \): \[ = 15(1) - (1)^2 = 15 - 1 = 14 \] Теперь вычтем: \[ S = 56 - 14 = 42 \] ### Ответ Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x \), \( y = 15 - x \), \( x = 1 \) и \( x = 7 \), составляет \( 42 \) квадратных единиц.