Найдите наибольшее целое значение  x x , удовлетворяющее неравенству  3 − x 3 + 2 ⩽ 3 x − 8 x + 1 2 3 3−x +2⩽3x− 2 8x+1 . -1

Решим неравенство: \[ 3 - \frac{x^3 + 2}{3} \leq 3x - 8x + 12 \] ### Шаг 1: Упрощение неравенства Сначала упростим правую часть: \[ 3x - 8x + 12 = -5x + 12 \] Теперь подставим это в неравенство: \[ 3 - \frac{x^3 + 2}{3} \leq -5x + 12 \] Теперь преобразуем левую часть. Умножим обе стороны неравенства на 3 (учтите, что при умножении на положительное число знак неравенства не меняется): \[ 9 - (x^3 + 2) \leq -15x + 36 \] Упростим это: \[ 9 - x^3 - 2 \leq -15x + 36 \] ### Шаг 2: Переносим все в одну сторону Теперь перенесем все влево: \[ -x^3 + 15x + 9 - 36 - 2 \leq 0 \] Это упростится до: \[ -x^3 + 15x - 29 \leq 0 \] Или: \[ x^3 - 15x + 29 \geq 0 \] ### Шаг 3: Исследуем функцию Теперь исследуем функцию \( f(x) = x^3 - 15x + 29 \). Чтобы найти корни этой функции, можем воспользоваться графическим методом или численным методом, однако, для начала попробуем подставить несколько целых значений \( x \): 1. **Для \( x = 1 \)**: \[ f(1) = 1^3 - 15 \cdot 1 + 29 = 1 - 15 + 29 = 15 \quad ( \text{положительно} ) \] 2. **Для \( x = 2 \)**: \[ f(2) = 2^3 - 15 \cdot 2 + 29 = 8 - 30 + 29 = 7 \quad ( \text{положительно} ) \] 3. **Для \( x = 3 \)**: \[ f(3) = 3^3 - 15 \cdot 3 + 29 = 27 - 45 + 29 = 11 \quad ( \text{положительно} ) \] 4. **Для \( x = 4 \)**: \[ f(4) = 4^3 - 15 \cdot 4 + 29 = 64 - 60 + 29 = 33 \quad ( \text{положительно} ) \] 5. **Для \( x = 5 \)**: \[ f(5) = 5^3 - 15 \cdot 5 + 29 = 125 - 75 + 29 = 79 \quad ( \text{положительно} ) \] 6. **Для \( x = 6 \)**: \[ f(6) = 6^3 - 15 \cdot 6 + 29 = 216 - 90 + 29 = 155 \quad ( \text{положительно} ) \] 7. **Для \( x = 7 \)**: \[ f(7) = 7^3 - 15 \cdot 7 + 29 = 343 - 105 + 29 = 267 \quad ( \text{положительно} ) \] 8. **Для \( x = 8 \)**: \[ f(8) = 8^3 - 15 \cdot 8 + 29 = 512 - 120 + 29 = 421 \quad ( \text{положительно} ) \] Поиск наибольшего целого значения, которое удовлетворяет изначальному неравенству: Теперь проверим отрицательные значения: 1. **Для \( x = 0 \)**: \[ f(0) = 0 - 0 + 29 = 29 \quad ( \text{положительно} ) \] 2. **Для \( x = -1 \)**: \[ f(-1) = (-1)^3 - 15 \cdot (-1) + 29 = -1 + 15 + 29 = 43 \quad ( \text{положительно} ) \] 3. **Для \( x = -2 \)**: \[ f(-2) = (-2)^3 - 15 \cdot (-2) + 29 = -8 + 30 + 29 = 51 \quad ( \text{положительно} ) \] 4. **Для \( x = -3 \)**: \[ f(-3) = (-3)^3 - 15 \cdot (-3) + 29 = -27 + 45 + 29 = 47 \quad ( \text{положительно} ) \] 5. **Для \( x = -4 \)**: \[ f(-4) = (-4)^3 - 15 \cdot (-4) + 29 = -64 + 60 + 29 = 25 \quad ( \text{положительно} ) \] 6. **Для \( x = -5 \)**: \[ f(-5) = (-5)^3 - 15 \cdot (-5) + 29 = -125 + 75 + 29 = -21 \quad ( \text{отрицательно} ) \] Итак, наибольшее целое значение \( x \), удовлетворяющее неравенству \( f(x) \geq 0 \), это 4. ### Ответ: Наибольшее целое значение \( x \), удовлетворяющее неравенству, равно 4.