На рисунке радиус окружности, описанной около квадрата, равен 8√2. Найдите длину стороны этого квадрата.
Чтобы найти длину стороны квадрата, вокруг которого описана окружность радиусом \( 8\sqrt{2} \), следуем следующим шагам:
Понимание задачи: Окружность описана вокруг квадрата. Это значит, что все вершины квадрата касаются этой окружности. Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой из вершин квадрата.
Свойства квадрата: У квадрата все стороны равны, и его диагонали пересекаются в центре квадрата, деля его на четыре равных прямоугольных треугольника. Если обозначить длину стороны квадрата как \( a \), то по теореме Пифагора длина диагонали квадрата будет равна: \[ d = a\sqrt{2} \] Это связано с тем, что диагональ квадрата формирует прямоугольный треугольник, где обе стороны равны \( a \).
Радиус описанной окружности: Для квадрата радиус описанной окружности (обозначим его \( R \)) равен половине длины диагонали квадрата, то есть: \[ R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \]
Установка уравнения: С учетом того, что радиус описанной окружности равен \( 8\sqrt{2} \), мы можем записать уравнение: \[ \frac{a\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2} \]
Решение уравнения:
- Умножим обе стороны уравнения на 2: \[ a\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]
- Теперь, делим обе стороны на \( \sqrt{2} \): \[ a = 16 \]
Таким образом, длина стороны квадрата равна \( 16 \).
Ответ: Длина стороны квадрата составляет \( 16 \) единиц.
