Маша выбирает, где отметить день рождения. Она решила, что пригласит гостей в боулинг или сходит с ними на квест. Чтобы узнать мнение друзей, она устроила в социальной сети опрос с выбором нескольких вариантов ответа. Она подождала, пока все 19 приглашённых друзей выбрали, куда хотят пойти. Оказалось, что 12 человек выбрали вариант «Боулинг», а 13 человек выбрали вариант «Квест». Сколько человек проголосовало за оба варианта?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться принципом включения-исключения в теории множеств. Давайте по шагам проанализируем информацию и решим задачу. 1. **Данные из задачи:** - Общее количество приглашённых друзей (всего): \( n = 19 \) - Количество друзей, выбравших боулинг: \( |A| = 12 \) - Количество друзей, выбравших квест: \( |B| = 13 \) 2. **Обозначения:** - Пусть \( x \) — это количество друзей, которые проголосовали за оба варианта (то есть как за боулинг, так и за квест). - Чтобы найти количество людей, проголосовавших только за боулинг, мы вычтем тех, кто проголосовал за оба варианта из тех, кто проголосовал за боулинг: \( |A| - x = 12 - x \). - Соответственно, количество людей, проголосовавших только за квест: \( |B| - x = 13 - x \). 3. **Общее количество проголосовавших:** - Суммируем всех, кто проголосовал (учитываем только тех, кто проголосовал хотя бы за один вариант): \[ (|A| - x) + (|B| - x) + x = 19 \] Подставим известные значения: \[ (12 - x) + (13 - x) + x = 19 \] 4. **Упрощение уравнения:** \[ 12 - x + 13 - x + x = 19 \] Это упрощается до: \[ 25 - x = 19 \] Теперь решим это уравнение: \[ -x = 19 - 25 \] \[ -x = -6 \] \[ x = 6 \] 5. **Ответ:** Количество человек, проголосовавших за оба варианта (и за боулинг, и за квест), составляет **6 человек**. Таким образом, Маша узнала, что 6 её друзей выбрали оба варианта для празднования дня рождения.