Найдите площадь криволинейной трапеции y=2x 4, у=0, х=-2, х=2

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, нам нужно определить площадь, заключенную между графиком функции и осью абсцисс, а также между двумя вертикальными линиями. В данном случае у нас есть функция \( y = 2x + 4 \) и мы ищем площадь между \( x = -2 \) и \( x = 2 \). ### Шаг 1: Нахождение точки пересечения с осью абсцисс Пересечение с осью абсцисс происходит, когда \( y = 0 \): \[ 0 = 2x + 4 \] Решим это уравнение: \[ 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \] Это означает, что график функции пересекает ось \( x \) в точке \( (-2, 0) \). ### Шаг 2: Визуализация графика Функция \( y = 2x + 4 \) является линейной. Чтобы построить график: - При \( x = -2 \): \( y = 0 \) (уже нашли) - При \( x = 0 \): \( y = 4 \) - При \( x = 2 \): \( y = 2(2) + 4 = 8 \) Таким образом, у нас есть три ключевых точки: - \( (-2, 0) \) - \( (0, 4) \) - \( (2, 8) \) ### Шаг 3: Определение формулы для площади Площадь фигуры, заключенной между графиком функции и осью \( x \), от \( x = -2 \) до \( x = 2 \) можно найти с помощью интеграла: \[ S = \int_{-2}^{2} (2x + 4) \, dx \] ### Шаг 4: Вычисление интеграла Теперь вычислим интеграл: 1. Запишем первичный интеграл: \[ \int (2x + 4) \, dx = x^2 + 4x + C \] 2. Вычислим определенный интеграл от \(-2\) до \(2\): \[ S = \left[ x^2 + 4x \right]_{-2}^{2} \] Подставим верхнюю границу (x = 2): \[ S(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12 \] Подставим нижнюю границу (x = -2): \[ S(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4 \] 3. Теперь найдем разность: \[ S = S(2) - S(-2) = 12 - (-4) = 12 + 4 = 16 \] ### Ответ Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = 2x + 4 \), осью \( x \) и линиями \( x = -2 \) и \( x = 2 \), равна 16. \[ \text{Площадь } S = 16 \]