найдите площадь криволинейной трапеции y=2x 4, у=0, х=-2, х=2

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, нам нужно определить площадь, заключенную между графиком функции и осью абсцисс, а также между двумя вертикальными линиями. В данном случае у нас есть функция \( y = 2x + 4 \) и мы ищем площадь между \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

Шаг 1: Нахождение точки пересечения с осью абсцисс

Пересечение с осью абсцисс происходит, когда \( y = 0 \):

\[ 0 = 2x + 4 \]

Решим это уравнение:

\[ 2x = -4 \Rightarrow x = -2 \]

Это означает, что график функции пересекает ось \( x \) в точке \( (-2, 0) \).

Шаг 2: Визуализация графика

Функция \( y = 2x + 4 \) является линейной. Чтобы построить график:

• При \( x = -2 \): \( y = 0 \) (уже нашли)
• При \( x = 0 \): \( y = 4 \)
• При \( x = 2 \): \( y = 2(2) + 4 = 8 \)

Таким образом, у нас есть три ключевых точки:

• \( (-2, 0) \)
• \( (0, 4) \)
• \( (2, 8) \)

Шаг 3: Определение формулы для площади

Площадь фигуры, заключенной между графиком функции и осью \( x \), от \( x = -2 \) до \( x = 2 \) можно найти с помощью интеграла:

\[ S = \int_{-2}^{2} (2x + 4) \, dx \]

Шаг 4: Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

1. Запишем первичный интеграл: \[ \int (2x + 4) \, dx = x^2 + 4x + C \]

2. Вычислим определенный интеграл от \(-2\) до \(2\): \[ S = \left[ x^2 + 4x \right]_{-2}^{2} \]

   Подставим верхнюю границу (x = 2): \[ S(2) = 2^2 + 4 \cdot 2 = 4 + 8 = 12 \]

   Подставим нижнюю границу (x = -2): \[ S(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) = 4 - 8 = -4 \]

3. Теперь найдем разность: \[ S = S(2) - S(-2) = 12 - (-4) = 12 + 4 = 16 \]

Ответ

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = 2x + 4 \), осью \( x \) и линиями \( x = -2 \) и \( x = 2 \), равна 16.

\[ \text{Площадь } S = 16 \]