Реши
Давайте разберём каждую из данных задач по отдельности.
Задача 1:
Нужно определить, является ли каждый из заданных пар чисел решением системы неравенств:
\[ \begin{cases} x^2 - y < 0 \\ 2y - 3x > 3 \end{cases} \]
Пара (3; 4):
Подставим в первое неравенство: \[ 3^2 - 4 < 0 \implies 9 - 4 < 0 \implies 5 < 0 \, (\text{ложь}) \]
Подставим во второе неравенство: \[ 2 \cdot 4 - 3 \cdot 3 > 3 \implies 8 - 9 > 3 \implies -1 > 3 \, (\text{ложь}) \]
Пара (3; 4) не является решением системы.
Пара (6; 6):
Первое неравенство: \[ 6^2 - 6 < 0 \implies 36 - 6 < 0 \implies 30 < 0 \, (\text{ложь}) \]
Второе неравенство: \[ 2 \cdot 6 - 3 \cdot 6 > 3 \implies 12 - 18 > 3 \implies -6 > 3 \, (\text{ложь}) \]
Пара (6; 6) не является решением системы.
Пара (2; 5):
Первое неравенство: \[ 2^2 - 5 < 0 \implies 4 - 5 < 0 \implies -1 < 0 \, (\text{истина}) \]
Второе неравенство: \[ 2 \cdot 5 - 3 \cdot 2 > 3 \implies 10 - 6 > 3 \implies 4 > 3 \, (\text{истина}) \]
Пара (2; 5) является решением системы.
Пара (0; -2):
Первое неравенство: \[ 0^2 - (-2) < 0 \implies 0 + 2 < 0 \implies 2 < 0 \, (\text{ложь}) \]
Второе неравенство: \[ 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 0 > 3 \implies -4 > 3 \, (\text{ложь}) \]
Пара (0; -2) не является решением системы.
Задача 2:
Изобразите на координатной плоскости множество решений каждой системы неравенств.
а)
\[ \begin{cases} x > 3 \\ y < -1 \end{cases} \]
Решение этой системы представляет собой область на координатной плоскости, находящуюся справа от вертикальной прямой \(x = 3\) и ниже горизонтальной прямой \(y = -1\).
б)
\[ \begin{cases} y \leq 5 - x^2 \\ y > -2 \end{cases} \]
Решение этой системы представлено областью под параболой \(y = 5 - x^2\) и над горизонтальной прямой \(y = -2\). Включает точки на параболе, так как неравенство \(\leq\).
в)
\[ \begin{cases} (x + 1)^2 + y^2 \leq 1 \\ 2x^2 + (y + 2)^2 \leq 4 \end{cases} \]
Первая часть системы определяет круг с центром в точке (-1, 0) и радиусом 1. Вторая часть ограничивает эллипс или обрезанную часть окружности с центром в (0, -2) и проверками ограничены осями.
Каждую из перечисленных областей можно изобразить на координатной плоскости, выделяя области, соответствующие решениям.
