Для решения задачи, начнем с анализа данных, которые нам даны.
Дано:
- ABC — правильная треугольная призма.
- ( O_1 ) — центр описанного шара.
- ( AC_1 = 3 ) (это длина ребра призмы).
- ( AA_1 = 2 ) (это высота призмы, то есть расстояние между основанием ABC и верхним основанием A1B1C1).
- ( O_1O_2 ) перпендикулярна плоскости ABC (это значит, что ( O_1 ) является центром сферы, описанной вокруг призмы).
Необходимо найти: площадь поверхности Sш.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Основание ABC — правильный треугольник. Для правильного треугольника со стороной ( a ) (в нашем случае ( a = AC_1 = 3 )):
- Площадь треугольника ( S_1 ) вычисляется по формуле:
[
S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
]
Подставим ( a = 3 ):
[
S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4}
]
Шаг 2: Найдем площадь боковых поверхностей
Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно рассмотреть три боковых прямоугольника, которые соединяют соответствующие стороны треугольника ABC с вершинами A1, B1 и C1. Высота этих прямоугольников равна ( AA_1 = 2 ).
Каждый из боковых прямоугольников будет иметь размеры:
- Высота = 2 (AA1).
- Ширина = сторона основания (AC, AB или BC = 3).
Площадь одного бокового прямоугольника:
[
S_{боковой} = \text{ш width} \times \text{высота} = 3 \times 2 = 6
]
Так как боковых прямоугольников три:
[
S_{боковая} = 3 \times 6 = 18
]
Шаг 3: Найдем общую площадь поверхности
Теперь найдем общую площадь поверхности ( Sш ):
[
Sш = 2 \times S_1 + S_{боковая}
]
Площадь двух оснований (верхнего и нижнего):
[
2 \times S_1 = 2 \times \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}
]
Итак, общая площадь поверхности:
[
Sш = \frac{9\sqrt{3}}{2} + 18
]
Итог
Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной призмы ( Sш ) равна:
[
Sш = \frac{9\sqrt{3}}{2} + 18
]
Это и будет искомым ответом.
