Дано: А B С A1B1C1 правильная треу- угольная призма,О1 - центр описан- ного шара,А1 C1 = 3, АА1= 2, о1о2 перпендикулярна плоскости ABC Найдите: Sш
Для решения задачи, начнем с анализа данных, которые нам даны.
Дано:
- ABC — правильная треугольная призма.
- \( O_1 \) — центр описанного шара.
- \( AC_1 = 3 \) (это длина ребра призмы).
- \( AA_1 = 2 \) (это высота призмы, то есть расстояние между основанием ABC и верхним основанием A1B1C1).
- \( O_1O_2 \) перпендикулярна плоскости ABC (это значит, что \( O_1 \) является центром сферы, описанной вокруг призмы).
Необходимо найти: площадь поверхности Sш.
Шаг 1: Найдем площадь основания
Основание ABC — правильный треугольник. Для правильного треугольника со стороной \( a \) (в нашем случае \( a = AC_1 = 3 \)):
- Площадь треугольника \( S_1 \) вычисляется по формуле: \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим \( a = 3 \): \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9\sqrt{3}}{4} \]
Шаг 2: Найдем площадь боковых поверхностей
Теперь, чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно рассмотреть три боковых прямоугольника, которые соединяют соответствующие стороны треугольника ABC с вершинами A1, B1 и C1. Высота этих прямоугольников равна \( AA_1 = 2 \).
Каждый из боковых прямоугольников будет иметь размеры:
- Высота = 2 (AA1).
- Ширина = сторона основания (AC, AB или BC = 3).
Площадь одного бокового прямоугольника: \[ S_{боковой} = \text{ш width} \times \text{высота} = 3 \times 2 = 6 \]
Так как боковых прямоугольников три: \[ S_{боковая} = 3 \times 6 = 18 \]
Шаг 3: Найдем общую площадь поверхности
Теперь найдем общую площадь поверхности \( Sш \): \[ Sш = 2 \times S_1 + S_{боковая} \] Площадь двух оснований (верхнего и нижнего): \[ 2 \times S_1 = 2 \times \frac{9\sqrt{3}}{4} = \frac{18\sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \] Итак, общая площадь поверхности: \[ Sш = \frac{9\sqrt{3}}{2} + 18 \]
Итог
Таким образом, площадь поверхности правильной треугольной призмы \( Sш \) равна: \[ Sш = \frac{9\sqrt{3}}{2} + 18 \]
Это и будет искомым ответом.
