Для решения задачи необходимо обратить внимание на закон Архимеда, который описывает работу, выполняемую уплывающей силой, действующей на тела, погруженные в жидкость.
Условие задачи:
Кубик жидкости весит в 2 раза меньше при полном погружении в жидкость, чем в воздухе.
Обозначения:
- ( V ) — объем кубика.
- ( \rho_{cube} ) — плотность вещества кубика.
- ( \rho_{liquid} ) — плотность жидкости.
- ( g ) — ускорение свободного падения.
Шаг 1: Запишем уравнения для весов кубика
Когда кубик находится в воздухе, его вес определяется как:
[
W_{air} = \rho_{cube} \cdot V \cdot g.
]
Когда кубик полностью погружен в жидкость, его вес будет меньше из-за выталкивающей силы:
[
W_{liquid} = \rho_{cube} \cdot V \cdot g - F_{up},
]
где ( F_{up} ) — подъемная сила, равная весу вытесненной жидкости:
[
F_{up} = \rho_{liquid} \cdot V \cdot g.
]
Шаг 2: Соотношение весов
По условию задачи известно, что вес кубика в жидкости в 2 раза меньше, чем в воздухе:
[
W_{liquid} = \frac{1}{2} W_{air}.
]
Подставляем уравнения для весов:
[
\rho_{cube} \cdot V \cdot g - \rho_{liquid} \cdot V \cdot g = \frac{1}{2} \cdot (\rho_{cube} \cdot V \cdot g).
]
Шаг 3: Упростим уравнение
Выразим всё в одном уравнении:
[
\rho_{cube} \cdot V \cdot g - \rho_{liquid} \cdot V \cdot g = \frac{1}{2} \cdot \rho_{cube} \cdot V \cdot g.
]
Можно сократить на ( V \cdot g ) (при условии, что ( V > 0 ) и ( g > 0 )):
[
\rho_{cube} - \rho_{liquid} = \frac{1}{2} \cdot \rho_{cube}.
]
Шаг 4: Перепишем уравнение
Сгруппируем одинаковые члены:
[
\rho_{cube} - \frac{1}{2} \cdot \rho_{cube} = \rho_{liquid}.
]
Это упрощается до:
[
\frac{1}{2} \cdot \rho_{cube} = \rho_{liquid}.
]
Шаг 5: Найдем отношение плотностей
Теперь определим отношение плотности жидкости к плотности кубика:
[
\frac{\rho_{liquid}}{\rho_{cube}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \rho_{cube}}{\rho_{cube}} = \frac{1}{2}.
]
Ответ
Отношение плотности жидкости к плотности вещества, из которого сделан кубик:
[
\frac{\rho_{liquid}}{\rho_{cube}} = \frac{1}{2}.
]
Это значит, что плотность жидкости в 2 раза меньше плотности материала кубика.
