Как много элементарных событий в серии из 7 испытаний Бернулли благоприятствует 3 успехам?

Чтобы решить задачу о количестве элементарных событий, благоприятствующих 3 успехам в серии из 7 испытаний Бернулли, давайте подробно разберем, что это значит.

Шаг 1: Понимание термина "испытание Бернулли"

Испытание Бернулли — это случайный эксперимент, который имеет два возможных исхода: успех (например, "да", "1") и неудача (например, "нет", "0"). В данной задаче у нас есть 7 таких испытаний.

Шаг 2: Определение задачи

Мы хотим найти количество способов получить 3 успеха (например, "да") в 7 испытаниях. Это можно представить как задачу о размещении 3 успехов и 4 неудач (поскольку 7 - 3 = 4).

Шаг 3: Использование комбинаторики

Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для сочетаний, так как нас интересует, сколько различных способов мы можем выбрать 3 успеха из 7 испытаний. Формула для сочетаний выглядит так:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае 7),
• \( k \) — количество успехов (в нашем случае 3),
• \( ! \) — факториал числа, который равен произведению всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

Шаг 4: Подстановка значений

В нашей задаче \( n = 7 \) и \( k = 3 \). Подставляем эти значения в формулу комбинаций:

\[ C(7, 3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \]

Шаг 5: Вычисление факториалов

Теперь посчитаем факториалы:

• \( 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)

Шаг 6: Подстановка факториалов в формулу

Теперь подставим вычисленные значения обратно в формулу:

\[ C(7, 3) = \frac{5040}{6 \cdot 24} = \frac{5040}{144} = 35 \]

Ответ

Таким образом, количество элементарных событий, благоприятствующих 3 успехам в серии из 7 испытаний Бернулли, равно 35.

Это значит, что есть 35 различных способов получить 3 успеха и 4 неудачи в 7 испытаниях.