Давайте разберем каждую из задач по порядку, предоставляя подробные решения с объяснениями.
Задача 1:
Найдите восьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b_1 = -18, q = 1/2.
В геометрической прогрессии общий член можно найти с помощью формулы:
[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ]
Где:
- ( b_n ) — n-й член прогрессии,
- ( b_1 ) — первый член,
- ( q ) — знаменатель,
- ( n ) — номер члена.
Теперь подставим данные в формулу:
[ b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = -18 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{7} ]
Теперь вычислим:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{7} = \frac{1}{128}
]
Таким образом:
[ b_8 = -18 \cdot \frac{1}{128} = -\frac{18}{128} = -\frac{9}{64} ]
Ответ: ( b_8 = -\frac{9}{64} ).
Задача 2:
Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), если ее первый член равен 8, а знаменатель равен 2.
Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле:
[ S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q} ]
где:
- ( S_n ) — сумма первых n членов,
- ( b_1 ) — первый член,
- ( q ) — знаменатель,
- ( n ) — количество членов.
В нашем случае:
- ( b_1 = 8 )
- ( q = 2 )
- ( n = 10 )
Теперь подставим значения:
[
S_{10} = \frac{8 (1 - 2^{10})}{1 - 2}
]
Вычислим:
[
2^{10} = 1024
]
Таким образом:
[
S_{10} = \frac{8 (1 - 1024)}{-1} = \frac{8 \cdot (-1023)}{-1} = 8 \cdot 1023 = 8164
]
Ответ: ( S_{10} = 8164 ).
Задача 3:
Найдите знаменатель геометрической прогрессии (c_n), если c_5 = -5, c_6 = -45.
Мы знаем, что:
[ c_n = c_1 \cdot q^{n-1} ]
Следовательно:
[ c_6 = c_5 \cdot q ]
Теперь подставим известные значения:
[
-45 = -5 \cdot q
]
Решим уравнение:
[
q = \frac{-45}{-5} = 9
]
Ответ: ( q = 9 ).
Задача 4:
Найдите первый член геометрической прогрессии (a_n), в которой q = 3, S_4 = 560.
Сумма первых n членов:
[ S_n = \frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q} ]
Подставим значения:
- ( S_4 = 560 )
- ( q = 3 )
- ( n = 4 )
Тогда:
[
560 = \frac{a_1 (1 - 3^4)}{1 - 3}
]
Вычислим ( 3^4 = 81 ):
[
560 = \frac{a_1 (1 - 81)}{-2} = \frac{a_1 \cdot (-80)}{-2} = 40a_1
]
Теперь найдем ( a_1 ):
[
a_1 = \frac{560}{40} = 14
]
Ответ: ( a_1 = 14 ).
Задача 5:
Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ...; 8; х; 32; .... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
В данной задаче известны три члена прогрессии: 8, ( x ), 32. Обозначим знаменатель геометрической прогрессии как ( q ).
Мы знаем, что:
[ x = 8q ]
и
[ 32 = xq = (8q)q = 8q^2 ]
Теперь подставим значение второго уравнения:
[ 32 = 8q^2 ]
Решим его:
[
q^2 = \frac{32}{8} = 4 \implies q = 2 \text{ (применяем положительное значение)}.
]
Теперь мы можем найти ( x ):
[ x = 8q = 8 \cdot 2 = 16. ]
Ответ: ( x = 16 ).
Если у вас есть еще вопросы, или нужна дополнительная помощь с другими задачами, дайте знать!
