1. Найдите восьмой член геометрической прогрессии (b_n), если 1=-18, q=1/2 2. Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), если ее первый член равен 8, а…

Давайте разберем каждую из задач по порядку, предоставляя подробные решения с объяснениями.

Задача 1:

Найдите восьмой член геометрической прогрессии (b_n), если b_1 = -18, q = 1/2.

В геометрической прогрессии общий член можно найти с помощью формулы: \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \] Где:

• \( b_n \) — n-й член прогрессии,
• \( b_1 \) — первый член,
• \( q \) — знаменатель,
• \( n \) — номер члена.

Теперь подставим данные в формулу: \[ b_8 = b_1 \cdot q^{8-1} = -18 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{7} \]

Теперь вычислим: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^{7} = \frac{1}{128} \] Таким образом: \[ b_8 = -18 \cdot \frac{1}{128} = -\frac{18}{128} = -\frac{9}{64} \]

Ответ: \( b_8 = -\frac{9}{64} \).

Задача 2:

Найдите сумму десяти первых членов геометрической прогрессии (b_n), если ее первый член равен 8, а знаменатель равен 2.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии определяется по формуле: \[ S_n = \frac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q} \] где:

• \( S_n \) — сумма первых n членов,
• \( b_1 \) — первый член,
• \( q \) — знаменатель,
• \( n \) — количество членов.

В нашем случае:

• \( b_1 = 8 \)
• \( q = 2 \)
• \( n = 10 \)

Теперь подставим значения: \[ S_{10} = \frac{8 (1 - 2^{10})}{1 - 2} \] Вычислим: \[ 2^{10} = 1024 \] Таким образом: \[ S_{10} = \frac{8 (1 - 1024)}{-1} = \frac{8 \cdot (-1023)}{-1} = 8 \cdot 1023 = 8164 \]

Ответ: \( S_{10} = 8164 \).

Задача 3:

Найдите знаменатель геометрической прогрессии (c_n), если c_5 = -5, c_6 = -45.

Мы знаем, что: \[ c_n = c_1 \cdot q^{n-1} \] Следовательно: \[ c_6 = c_5 \cdot q \] Теперь подставим известные значения: \[ -45 = -5 \cdot q \] Решим уравнение: \[ q = \frac{-45}{-5} = 9 \]

Ответ: \( q = 9 \).

Задача 4:

Найдите первый член геометрической прогрессии (a_n), в которой q = 3, S_4 = 560.

Сумма первых n членов: \[ S_n = \frac{a_1 (1 - q^n)}{1 - q} \] Подставим значения:

• \( S_4 = 560 \)
• \( q = 3 \)
• \( n = 4 \)

Тогда: \[ 560 = \frac{a_1 (1 - 3^4)}{1 - 3} \] Вычислим \( 3^4 = 81 \): \[ 560 = \frac{a_1 (1 - 81)}{-2} = \frac{a_1 \cdot (-80)}{-2} = 40a_1 \]

Теперь найдем \( a_1 \): \[ a_1 = \frac{560}{40} = 14 \]

Ответ: \( a_1 = 14 \).

Задача 5:

Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: ...; 8; х; 32; .... Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

В данной задаче известны три члена прогрессии: 8, \( x \), 32. Обозначим знаменатель геометрической прогрессии как \( q \).

Мы знаем, что: \[ x = 8q \] и \[ 32 = xq = (8q)q = 8q^2 \]

Теперь подставим значение второго уравнения: \[ 32 = 8q^2 \] Решим его: \[ q^2 = \frac{32}{8} = 4 \implies q = 2 \text{ (применяем положительное значение)}. \]

Теперь мы можем найти \( x \): \[ x = 8q = 8 \cdot 2 = 16. \]

Ответ: \( x = 16 \).

Если у вас есть еще вопросы, или нужна дополнительная помощь с другими задачами, дайте знать!