«Тригонометрия» бөлімі бойынша жиынтық бағалау ІІІ тоқсан І нұска 1.(1 балл) Есептеңдер: sin(- 1350 deg) 2. (2 балл) Жауабын сәйкестендіріп жазыңыз: 1) 240 deg 2) (4pi)/9 A)…

Давайте решим задачу по тригонометрии шаг за шагом.

Задача 1: Есептеңдер: sin(- 1350 deg)

Чтобы найти \(\sin(-1350^\circ)\), мы можем сначала привести угол к положительному значению с помощью периодичности синуса.

Шаг 1: Приведем угол к диапазону от \(0^\circ\) до \(360^\circ\): \[ -1350^\circ + 4 \times 360^\circ = -1350^\circ + 1440^\circ = 90^\circ \] Таким образом, \(\sin(-1350^\circ) = \sin(90^\circ)\).

Шаг 2: Находим значение \(\sin(90^\circ)\): \[ \sin(90^\circ) = 1 \]

Ответ: \(\sin(-1350^\circ) = 1\)

---

Задача 2: Жауабын сәйкестендіріп жазыңыз

Условия:

1. 240 °
2. \(\frac{4\pi}{9}\)

Нам нужно выяснить, какие из предложенных вариантов равны 240° или \(\frac{4\pi}{9}\).

• 240°: Это значение можно перевести в радианы: \[ 240^\circ = \frac{240 \cdot \pi}{180} = \frac{4\pi}{3} \] Таким образом, 240° соответствует \(\frac{4\pi}{3}\).

• \(\frac{4\pi}{9}\) – это просто значение в радианах, не требует перевода.

Теперь находим правильный вариант среди предложенных:

• A) \(\frac{24\pi}{9}\) – не соответствует.
• B) \(960^\circ\) – не соответствует.
• C) \(480^\circ\) – не соответствует.
• D) \(\frac{4\pi}{3}\) – это 240°, подходит.
• E) \(48,9^\circ\) – не соответствует.

Ответ: D) \(\frac{4\pi}{3}\)

---

Задача 3: Erep \( tg \alpha = \frac{5}{4} \) болса, онда есептеңдер.

Чтобы найти значение \(\frac{\sin a + \cos a}{2\sin a - \cos a}\), нам нужно выразить \(\sin\) и \(\cos\) через \(\tg\).

Шаг 1: Находим \(\sin\) и \(\cos\): \[ \tg a = \frac{5}{4} \implies \sin a = \frac{5}{\sqrt{5^2 + 4^2}} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \cos a = \frac{4}{\sqrt{41}} \]

Шаг 2: Подставляем в выражение: \[ \sin a + \cos a = \frac{5}{\sqrt{41}} + \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{9}{\sqrt{41}} \] \[ 2\sin a - \cos a = 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} - \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{10}{\sqrt{41}} - \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{6}{\sqrt{41}} \]

Шаг 3: Находим результат: \[ \frac{\sin a + \cos a}{2\sin a - \cos a} = \frac{\frac{9}{\sqrt{41}}}{\frac{6}{\sqrt{41}}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2} \]

Ответ: \(\frac{3}{2}\)

---

Задача 4: К (1/2; (sqrt(3))/2) нүктесінен өтеді. sina; tga; ctga мәнін табыңыз.

Шаг 1: Известно, что точка \(C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\) соответствует углу \(60^\circ\) или \(\frac{\pi}{3}\).

• Значение \(\sin\): \[ \sin a = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• Значение \(\cos\): \[ \cos a = \frac{1}{2} \]

• Значение \(\tan\): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \]

• Значение \(\cot\): \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

Ответ: \( \sin a = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan a = \sqrt{3}, \cot a = \frac{1}{\sqrt{3}} \)

---

Задача 5: Өрнекті ықшамдаңдар

1) \( \sin^2 (-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha \)

Используем свойства: \[ \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \implies \sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha) \] \[ \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \implies \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha = -1 \] Таким образом, получается: \[ \sin^2(\alpha) - 1 \]

2) \( 1 + \sin(\pi - \alpha) \cdot \cos\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) - \cos^2 \alpha \)

• \(\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha)\)
• \(\cos\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\sin(\alpha)\)

Получается: \[ 1 - \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) \] Используем единичную окружность (\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)): \[ 1 - 1 = 0 \]

3) \( \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\tan(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \alpha\right)}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} \)

Управляем свойства: \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha), \quad \tan(\pi + \alpha) = \tan(\alpha), \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha) \]

В итоге, получается расчет: \[ \frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \alpha\right)}{-\sin(\alpha)} = -\cot \left(\frac{\pi}{2} \alpha\right) \]

Задача 6: (дәлелдеңіз)

A) \[ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2}{1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha} = 1 \] Раскроем в числителе: \[ (\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha \]

B) \[ (1 + \tan^2 \beta)(1 - \cos^2 \beta) = \tan^2 \beta \] Используем тождество \(1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta\): \[ \sec^2 \beta \cdot \sin^2 \beta = \tan^2 \beta \]

Таким образом, обе части утверждения верны.

Ответы для A и B: Обе равенства верны, могу предоставить более подробные решения, если нужно!