Давайте решим задачу по тригонометрии шаг за шагом.
Задача 1: Есептеңдер: sin(- 1350 deg)
Чтобы найти (\sin(-1350^\circ)), мы можем сначала привести угол к положительному значению с помощью периодичности синуса.
Шаг 1: Приведем угол к диапазону от (0^\circ) до (360^\circ):
[
-1350^\circ + 4 \times 360^\circ = -1350^\circ + 1440^\circ = 90^\circ
]
Таким образом, (\sin(-1350^\circ) = \sin(90^\circ)).
Шаг 2: Находим значение (\sin(90^\circ)):
[
\sin(90^\circ) = 1
]
Ответ: (\sin(-1350^\circ) = 1)
Задача 2: Жауабын сәйкестендіріп жазыңыз
Условия:
- 240 °
- (\frac{4\pi}{9})
Нам нужно выяснить, какие из предложенных вариантов равны 240° или (\frac{4\pi}{9}).
240°: Это значение можно перевести в радианы:
[
240^\circ = \frac{240 \cdot \pi}{180} = \frac{4\pi}{3}
]
Таким образом, 240° соответствует (\frac{4\pi}{3}).
(\frac{4\pi}{9}) – это просто значение в радианах, не требует перевода.
Теперь находим правильный вариант среди предложенных:
- A) (\frac{24\pi}{9}) – не соответствует.
- B) (960^\circ) – не соответствует.
- C) (480^\circ) – не соответствует.
- D) (\frac{4\pi}{3}) – это 240°, подходит.
- E) (48,9^\circ) – не соответствует.
Ответ: D) (\frac{4\pi}{3})
Задача 3: Erep ( tg \alpha = \frac{5}{4} ) болса, онда есептеңдер.
Чтобы найти значение (\frac{\sin a + \cos a}{2\sin a - \cos a}), нам нужно выразить (\sin) и (\cos) через (\tg).
Шаг 1: Находим (\sin) и (\cos):
[
\tg a = \frac{5}{4} \implies \sin a = \frac{5}{\sqrt{5^2 + 4^2}} = \frac{5}{\sqrt{41}}, \quad \cos a = \frac{4}{\sqrt{41}}
]
Шаг 2: Подставляем в выражение:
[
\sin a + \cos a = \frac{5}{\sqrt{41}} + \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{9}{\sqrt{41}}
]
[
2\sin a - \cos a = 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{41}} - \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{10}{\sqrt{41}} - \frac{4}{\sqrt{41}} = \frac{6}{\sqrt{41}}
]
Шаг 3: Находим результат:
[
\frac{\sin a + \cos a}{2\sin a - \cos a} = \frac{\frac{9}{\sqrt{41}}}{\frac{6}{\sqrt{41}}} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}
]
Ответ: (\frac{3}{2})
Задача 4: К (1/2; (sqrt(3))/2) нүктесінен өтеді. sina; tga; ctga мәнін табыңыз.
Шаг 1: Известно, что точка (C\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)) соответствует углу (60^\circ) или (\frac{\pi}{3}).
Значение (\sin):
[
\sin a = \frac{\sqrt{3}}{2}
]
Значение (\cos):
[
\cos a = \frac{1}{2}
]
Значение (\tan):
[
\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}
]
Значение (\cot):
[
\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\sqrt{3}}
]
Ответ: ( \sin a = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan a = \sqrt{3}, \cot a = \frac{1}{\sqrt{3}} )
Задача 5: Өрнекті ықшамдаңдар
1) ( \sin^2 (-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha )
Используем свойства:
[
\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \implies \sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha)
]
[
\tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \implies \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha = -1
]
Таким образом, получается:
[
\sin^2(\alpha) - 1
]
2) ( 1 + \sin(\pi - \alpha) \cdot \cos\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) - \cos^2 \alpha )
- (\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha))
- (\cos\left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\sin(\alpha))
Получается:
[
1 - \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha)
]
Используем единичную окружность ((\sin^2 x + \cos^2 x = 1)):
[
1 - 1 = 0
]
3) ( \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\tan(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \alpha\right)}{\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)} )
Управляем свойства:
[
\sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha), \quad \tan(\pi + \alpha) = \tan(\alpha), \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha)
]
В итоге, получается расчет:
[
\frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)} \cdot \frac{\cot\left(\frac{\pi}{2} \alpha\right)}{-\sin(\alpha)} = -\cot \left(\frac{\pi}{2} \alpha\right)
]
Задача 6: (дәлелдеңіз)
A)
[
\frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2}{1 - 2 \cos \alpha \sin \alpha} = 1
]
Раскроем в числителе:
[
(\sin^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha
]
B)
[
(1 + \tan^2 \beta)(1 - \cos^2 \beta) = \tan^2 \beta
]
Используем тождество (1 + \tan^2 \beta = \sec^2 \beta):
[
\sec^2 \beta \cdot \sin^2 \beta = \tan^2 \beta
]
Таким образом, обе части утверждения верны.
Ответы для A и B: Обе равенства верны, могу предоставить более подробные решения, если нужно!
