Для решения задачи о прямом круговом цилиндре, давай сначала вспомним несколько основных понятий и формул.
Параметры цилиндра:
- Высота ( h )
- Радиус основания ( r )
- Объем ( V ) цилиндра можно найти по формуле:
[
V = \pi r^2 h
]
Так как в данном случае нам нужно найти объем, деленный на ( \pi ), использую несколько других подходов мы можем найти этот объем в нужном формате.
Дано:
- Высота ( h = 8 )
- Угол между диагональю осевого сечения и высотой цилиндра ( \alpha = 60^\circ )
1. Определяем диагональ осевого сечения.
Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, у которого одна сторона равна высоте цилиндра, а другая — диаметр основания. Диагональ ( d ) прямоугольника с высотой ( h ) и основанием ( 2r ) (где ( r ) — радиус основания) может быть найдена по теореме Пифагора:
[
d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}
]
2. Используем угол для нахождения радиуса.
Угол 60° говорит нам о том, что мы можем использовать отношение:
[
\tan(\alpha) = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{прилегающая сторона}} = \frac{h}{r}
]
Для угла 60°:
[
\tan(60^\circ) = \sqrt{3}
]
Подставляем в формулу:
[
\sqrt{3} = \frac{8}{r} \implies r = \frac{8}{\sqrt{3}} \implies r = \frac{8\sqrt{3}}{3}
]
3. Теперь подставляем этот радиус в формулу объема.
Теперь можем вычислить объем:
[
V = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 \cdot 8
]
Сначала найдем ( r^2 ):
[
r^2 = \left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{64 \cdot 3}{9} = \frac{192}{9}
]
Теперь подставляем ( r^2 ) в формулу для объема:
[
V = \pi \cdot \frac{192}{9} \cdot 8
]
[
V = \pi \cdot \frac{192 \cdot 8}{9} = \pi \cdot \frac{1536}{9}
]
4. Разделим объем на ( \pi ):
Так как в задаче нужно указать объем, деленный на ( \pi ):
[
\frac{V}{\pi} = \frac{1536}{9}
]
Таким образом, ответ:
[
\frac{V}{\pi} = \frac{1536}{9}
]
Теперь мы знаем, что объем цилиндра, делённый на ( \pi ), равен ( \frac{1536}{9} ).
