«Тригонометрия» бөлімі бойынша жиынтық бағалау ІІІ тоқсан І нұска 1.(1 балл) Есептеңдер: sin(- 1350 deg) 4. (4 балл) Бұрышты анықтайтын радиус бір шеңбердің К (1/2; (sqrt(3))/2)…

Давайте разберем вашу задачу из тригонометрии, шаг за шагом.

Задача 1: Вычислить \( \sin(-1350^\circ) \)

1. Начнем с преобразования угла в стандартный диапазон \( [0^\circ, 360^\circ] \): \[ -1350^\circ + 360^\circ \cdot n = -1350 + 360 \cdot 4 = -1350 + 1440 = 90^\circ \quad (n = 4) \] Теперь \( \sin(-1350^\circ) = \sin(90^\circ) \).

2. Известно, что: \[ \sin(90^\circ) = 1 \]

Значит, ответ: \( \sin(-1350^\circ) = 1 \).

Задача 4: Найти \( \sin a \), \( \tan a \), \( \cot a \)

Дано: точка \( K(1/2, \sqrt{3}/2) \) на единичной окружности.

1. \( \sin a = y \) (координата точки), так что: \[ \sin a = \sqrt{3}/2 \]

2. \( \cos a = x \) (координата точки), значит: \[ \cos a = 1/2 \]

3. Теперь найдем \( \tan a \): \[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3} \]

4. И, соответственно, \( \cot a \): \[ \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \]

Ответы:

• \( \sin a = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
• \( \tan a = \sqrt{3} \)
• \( \cot a = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

Задача 5: Упростить выражения

1. Упростим \( \sin^2 (-\alpha) + \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha \): \[ \sin^2(-\alpha) = \sin^2(\alpha) \quad (\text{по свойству синуса}) \] \[ \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) \quad (\text{по свойству тангенса}) \] \[ \tan(-\alpha) \cdot \cot \alpha = -\tan(\alpha) \cdot \frac{1}{\tan(\alpha)} = -1 \] Подставляем в выражение: \[ \sin^2(\alpha) - 1 = -\cos^2(\alpha) \quad (\sin^2 + \cos^2 = 1) \]

2. Упростим \( 1 + \sin(\pi - \alpha) \cdot \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) - \cos^2 \alpha \): \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha) \] \[ \cos\left(\frac{3\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha) \] \[ 1 + \sin(\alpha) \cdot \sin(\alpha) - \cos^2(\alpha) = 1 + \sin^2(\alpha) - \cos^2(\alpha) = 1 + \sin^2(\alpha) - (1 - \sin^2(\alpha)) = 2\sin^2(\alpha) \]

3. Упростим \( \frac{\sin(\pi - \alpha)}{\tan(\pi + \alpha)} \cdot \frac{\cot(\frac{\pi}{2}\cdot\alpha)}{\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)} \): \[ \sin(\pi - \alpha) = \sin(\alpha), \quad \tan(\pi + \alpha) = \tan(\alpha), \quad \cot\left(\frac{\pi}{2} \cdot \alpha\right) = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cot(\alpha), \quad \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha) \] Подставляем: \[ \frac{\sin(\alpha)}{\tan(\alpha)} \cdot \frac{\cot(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha)}{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = \frac{\cos^2(\alpha)}{-\sin^2(\alpha)} \]

Задача 6: Доказать утверждения

A) Доказательство: \[ \frac{(\sin \alpha - \cos \alpha)^2}{1 - 2\cos \alpha \sin \alpha} \] Во-первых, раскрываем числитель: \[ (\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \] Теперь смотрим, что: \[ 1 - 2\cos \alpha \sin \alpha = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \] Таким образом, обе части равны и уравнение верно.

B) Доказательство: \[ (1 + \tan^2 \beta)(1 - \cos^2 \beta) = 1 + \tan^2 \beta \sin^2 \beta \] Из тождества \( 1 + \tan^2 \beta = \frac{1}{\cos^2 \beta} \) и свойства \( \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \) следует, что: \[ \frac{1}{\cos^2 \beta} \cdot \sin^2 \beta = \tan^2 \beta \] Обе части равны.

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно пройти еще какие-то задачи, дайте знать!