Чтобы найти объем прямой призмы, необходимо знать площадь основания и высоту призмы. В данной задаче основание призмы — прямоугольный треугольник с одним катетом, равным 2, и гипотенузой, равной (\sqrt{53}). Нам нужно найти второй катет, чтобы вычислить площадь основания.
Шаг 1: Найдем второй катет
Согласно теореме Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
где:
- (c) — гипотенуза,
- (a) и (b) — катеты.
Подставим известные значения:
[
(\sqrt{53})^2 = 2^2 + b^2
]
Это преобразуется в:
[
53 = 4 + b^2
]
Теперь решим уравнение относительно (b^2):
[
b^2 = 53 - 4 = 49
]
Так как (b) должно быть неотрицательным, находим (b):
[
b = \sqrt{49} = 7
]
Теперь мы знаем, что второй катет равен (7).
Шаг 2: Найдем площадь основания
Площадь (S) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \times a \times b
]
Подставляем известные значения:
[
S = \frac{1}{2} \times 2 \times 7 = \frac{14}{2} = 7
]
Шаг 3: Найдем объем призмы
Объем (V) прямой призмы вычисляется по формуле:
[
V = S \times h
]
где (h) — высота призмы. Из условия задачи высота равна 3. Подставляем значения:
[
V = 7 \times 3 = 21
]
Ответ
Объем призмы равен 21.
