В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 2, а гипотенуза равна корень из 53. Найдите объём призмы, если её высота равна 3.

Чтобы найти объем прямой призмы, необходимо знать площадь основания и высоту призмы. В данной задаче основание призмы — прямоугольный треугольник с одним катетом, равным 2, и гипотенузой, равной \(\sqrt{53}\). Нам нужно найти второй катет, чтобы вычислить площадь основания.

Шаг 1: Найдем второй катет

Согласно теореме Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где:

• \(c\) — гипотенуза,
• \(a\) и \(b\) — катеты.

Подставим известные значения:

\[ (\sqrt{53})^2 = 2^2 + b^2 \]

Это преобразуется в:

\[ 53 = 4 + b^2 \]

Теперь решим уравнение относительно \(b^2\):

\[ b^2 = 53 - 4 = 49 \]

Так как \(b\) должно быть неотрицательным, находим \(b\):

\[ b = \sqrt{49} = 7 \]

Теперь мы знаем, что второй катет равен \(7\).

Шаг 2: Найдем площадь основания

Площадь \(S\) прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Подставляем известные значения:

\[ S = \frac{1}{2} \times 2 \times 7 = \frac{14}{2} = 7 \]

Шаг 3: Найдем объем призмы

Объем \(V\) прямой призмы вычисляется по формуле:

\[ V = S \times h \]

где \(h\) — высота призмы. Из условия задачи высота равна 3. Подставляем значения:

\[ V = 7 \times 3 = 21 \]

Ответ

Объем призмы равен 21.