Стрелок делает по мишени три выстрела. Вероятность попадания по мишени равна 2/3. Определите вероятность события два промаха по мишени и одно попадание в серии из трёх выстрелов.
Для решения данной задачи мы будем использовать формулу биномиального распределения, учитывая, что стрельба происходит независимо и вероятность попадания фиксирована.
В данной задаче:
- Вероятность попадания по мишени, \( p = \frac{2}{3} \).
- Вероятность промаха, \( q = 1 - p = \frac{1}{3} \).
- Общее количество выстрелов, \( n = 3 \).
- Количество попаданий, которое мы хотим получить, \( k = 1 \) (так как одно попадание и два промаха).
Формула биномиального распределения выглядит так:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность того, что событие произойдёт \( k \) раз.
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который рассчитывается как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
- \( p \) — вероятность успешного события.
- \( q \) — вероятность неуспешного события.
- \( n \) — общее количество испытаний.
Теперь давайте подставим наши значения:
Рассчитаем биномиальный коэффициент \( C(3, 1) \): \[ C(3, 1) = \frac{3!}{1!(3-1)!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{1 \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{3}{1} = 3 \]
Подставим значения в формулу: \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot p^1 \cdot q^{3-1} \] \[ P(X = 1) = 3 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 \]
Посчитаем: \[ = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3^2} = 3 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{9} \] \[ = 3 \cdot \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} \]
Таким образом, вероятность события "два промаха по мишени и одно попадание в серии из трёх выстрелов" равна \( \frac{2}{9} \).
Ответ: Вероятность двух промахов и одного попадания равна \( \frac{2}{9} \).
