Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 60 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся половину другой, то работа была бы выполнена за 135 часов. За сколько часов мог бы оформить учебник алгебры каждый дизайнер, работая отдельно?

Для решения этой задачи давайте обозначим время, за которое каждый дизайнер может оформить учебник, как \( t_1 \) и \( t_2 \) часов соответственно. 1. **Оценим скорость работы дизайнеров**: - Скорость первого дизайнера: \( \frac{1}{t_1} \) (учебник за \( t_1 \) часов) - Скорость второго дизайнера: \( \frac{1}{t_2} \) (учебник за \( t_2 \) часов) 2. **Первое условие**: Работая совместно, они выполнили заказ за 60 часов. Это значит, что их совместная работа может быть описана следующим уравнением: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} \] Это уравнение обозначает, что их работа в часах равна работе, выполненной за 60 часов. 3. **Второе условие**: Если один дизайнер выполняет половину работы, а затем другой завершает оставшуюся половину, работа будет выполнена за 135 часов. Обозначим половину работы как \( \frac{1}{2} \). Время, затраченное на выполнение первой половины работы первым дизайнером будет \( \frac{1}{2} t_1 \), а время, затраченное на вторую половину работы вторым дизайнером — \( \frac{1}{2} t_2 \). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: \[ \frac{1}{2} t_1 + \frac{1}{2} t_2 = 135 \] Упростив, получим: \[ t_1 + t_2 = 270 \] 4. **Теперь у нас есть система уравнений**: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} \tag{1} \] \[ t_1 + t_2 = 270 \tag{2} \] 5. **Решим (1)**: Из (2) выразим \( t_2 \): \[ t_2 = 270 - t_1 \] Подставим это значение в (1): \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{270 - t_1} = \frac{1}{60} \] 6. **Умножим на \( t_1(270 - t_1)60 \)** (чтобы избавиться от дробей): \[ 60(270 - t_1) + 60t_1 = t_1(270 - t_1) \] Раскроем скобки: \[ 16200 - 60t_1 + 60t_1 = 270t_1 - t_1^2 \] Сокращаем \( 60t_1 \): \[ 16200 = 270t_1 - t_1^2 \] Переносим все в одно уравнение: \[ t_1^2 - 270t_1 + 16200 = 0 \] 7. **Решаем квадратное уравнение** с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-270)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16200 \] \[ D = 72900 - 64800 = 8100 \] \[ D = 90^2 \] 8. **Находим корни уравнения**: \[ t_1 = \frac{270 \pm 90}{2} \] Это дает нам два значения: \[ t_1 = \frac{360}{2} = 180 \quad \text{и} \quad t_1 = \frac{180}{2} = 90 \] 9. **Находим \( t_2 \)**: - Если \( t_1 = 180 \), тогда \( t_2 = 270 - 180 = 90 \). - Если \( t_1 = 90 \), тогда \( t_2 = 270 - 90 = 180 \). 10. **Ответ**: Первый дизайнер оформляет учебник за 180 часов, а второй — за 90 часов. Таким образом, дизайнеры могли бы оформить учебник алгебры за 180 и 90 часов, работая по отдельности.