Два дизайнера, работая совместно, выполнили заказ по художественному оформлению учебника алгебры за 60 часов. Если бы половину работы выполнил один из них, а затем оставшуюся…

Для решения этой задачи давайте обозначим время, за которое каждый дизайнер может оформить учебник, как \( t_1 \) и \( t_2 \) часов соответственно.

1. Оценим скорость работы дизайнеров:

   • Скорость первого дизайнера: \( \frac{1}{t_1} \) (учебник за \( t_1 \) часов)
   • Скорость второго дизайнера: \( \frac{1}{t_2} \) (учебник за \( t_2 \) часов)

2. Первое условие: Работая совместно, они выполнили заказ за 60 часов. Это значит, что их совместная работа может быть описана следующим уравнением: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} \] Это уравнение обозначает, что их работа в часах равна работе, выполненной за 60 часов.

3. Второе условие: Если один дизайнер выполняет половину работы, а затем другой завершает оставшуюся половину, работа будет выполнена за 135 часов. Обозначим половину работы как \( \frac{1}{2} \).

   Время, затраченное на выполнение первой половины работы первым дизайнером будет \( \frac{1}{2} t_1 \), а время, затраченное на вторую половину работы вторым дизайнером — \( \frac{1}{2} t_2 \). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение: \[ \frac{1}{2} t_1 + \frac{1}{2} t_2 = 135 \] Упростив, получим: \[ t_1 + t_2 = 270 \]

4. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{60} \tag{1} \] \[ t_1 + t_2 = 270 \tag{2} \]

5. Решим (1): Из (2) выразим \( t_2 \): \[ t_2 = 270 - t_1 \] Подставим это значение в (1): \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{270 - t_1} = \frac{1}{60} \]

6. Умножим на \( t_1(270 - t_1)60 \) (чтобы избавиться от дробей): \[ 60(270 - t_1) + 60t_1 = t_1(270 - t_1) \] Раскроем скобки: \[ 16200 - 60t_1 + 60t_1 = 270t_1 - t_1^2 \] Сокращаем \( 60t_1 \): \[ 16200 = 270t_1 - t_1^2 \] Переносим все в одно уравнение: \[ t_1^2 - 270t_1 + 16200 = 0 \]

7. Решаем квадратное уравнение с использованием дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-270)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16200 \] \[ D = 72900 - 64800 = 8100 \] \[ D = 90^2 \]

8. Находим корни уравнения: \[ t_1 = \frac{270 \pm 90}{2} \] Это дает нам два значения: \[ t_1 = \frac{360}{2} = 180 \quad \text{и} \quad t_1 = \frac{180}{2} = 90 \]

9. Находим \( t_2 \):

   • Если \( t_1 = 180 \), тогда \( t_2 = 270 - 180 = 90 \).
   • Если \( t_1 = 90 \), тогда \( t_2 = 270 - 90 = 180 \).

10. Ответ: Первый дизайнер оформляет учебник за 180 часов, а второй — за 90 часов.

Таким образом, дизайнеры могли бы оформить учебник алгебры за 180 и 90 часов, работая по отдельности.