Для решения этой задачи давайте обозначим время, которое потребуется первой бригаде для покраски дома, как ( x ) часов.
Теперь рассмотрим информацию, которую мы имеем:
Первая бригада тратит на 15 часов меньше, чем вторая бригада. Обозначим время, которое потребуется второй бригаде, как ( y ). Тогда у нас есть равенство:
[
x = y - 15
]
Первая бригада тратит на 12 часов больше, чем обе бригады вместе. Если обе бригады работают вместе, их продуктивность складывается, и время, которое они потратят вместе, будет меньше, чем время, которое требуется каждой из них по отдельности.
Когда две бригады работают вместе, они могут делать работу быстрее. Время, которое они тратят вместе, будет равно ( x \cdot y / (x + y) ). Мы знаем, что:
[
x = \left(\frac{xy}{x + y}\right) + 12
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( x = y - 15 )
- ( x = \frac{xy}{x + y} + 12 )
Теперь подставим первое уравнение во второе. Вместо ( y ) подставим ( x + 15 ):
[
x = \frac{x(x + 15)}{x + (x + 15)} + 12
]
Упрощаем:
[
x = \frac{x(x + 15)}{2x + 15} + 12
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( 2x + 15 ), чтобы избавиться от дроби:
[
x(2x + 15) = x(x + 15) + 12(2x + 15)
]
Раскрываем скобки:
[
2x^2 + 15x = x^2 + 15x + 24x + 180
]
Сокращаем ( 15x ) с обеих сторон:
[
2x^2 = x^2 + 24x + 180
]
Переносим все на одну сторону:
[
2x^2 - x^2 - 24x - 180 = 0
]
[
x^2 - 24x - 180 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 576 + 720 = 1296
]
Теперь найдем корни уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm \sqrt{1296}}{2 \cdot 1}
]
Так как ( \sqrt{1296} = 36 ):
[
x = \frac{24 \pm 36}{2}
]
У нас есть два возможных решения:
- ( x = \frac{60}{2} = 30 )
- ( x = \frac{-12}{2} = -6 ) (это решение не имеет смысла, так как время не может быть отрицательным).
Таким образом, первая бригада сможет перекрасить дом за 30 часов.
