Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно.
Чтобы решить задачу о вероятности, начнем с определения всех двузначных чисел и того, сколько из них являются кратными 3, 5 или обоим сразу.
Определение двузначных чисел:
Двузначные числа — это числа от 10 до 99, включая оба конца.Всего двузначных чисел:
\[ 99 - 10 + 1 = 90 \]Определение кратных 3:
Кратные 3 начинаются с 12 (первое двузначное число, кратное 3) и заканчиваются на 99 (последнее двузначное число, кратное 3).Чтобы найти количество двузначных чисел, кратных 3, воспользуемся формулой для нахождения количества членов арифметической прогрессии: \[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 \] где:
- \( a_1 = 12 \) (первый член),
- \( a_n = 99 \) (последний член),
- \( d = 3 \) (разность).
Подставим значения в формулу: \[ n = \frac{99 - 12}{3} + 1 = \frac{87}{3} + 1 = 29 + 1 = 30 \] Итак, двузначных чисел, кратных 3, — 30.
Определение кратных 5:
Аналогично, кратные 5 двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются на 95.Количество кратных 5: \[ n = \frac{95 - 10}{5} + 1 = \frac{85}{5} + 1 = 17 + 1 = 18 \] Итак, двузначных чисел, кратных 5, — 18.
Определение кратных 15 (одновременно кратные 3 и 5):
Кратные 15 начинаются с 30 и заканчиваются на 90.Количество кратных 15: \[ n = \frac{90 - 30}{15} + 1 = \frac{60}{15} + 1 = 4 + 1 = 5 \] Итак, двузначных чисел, кратных 15, — 5.
Применение формулы включения-исключения:
Чтобы найти количество двузначных чисел, которые являются кратными 3 или 5, используем формулу: \[ P(3 \cup 5) = P(3) + P(5) - P(3 \cap 5) \] Подставляем значения: \[ |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 30 + 18 - 5 = 43 \]Вычисление вероятности:
Теперь мы можем найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 3, либо кратным 5, либо тому и другому одновременно: \[ P = \frac{|A \cup B|}{\text{общее количество двузначных чисел}} = \frac{43}{90} \]
Таким образом, вероятность того, что наудачу взятое двузначное число будет кратным 3, 5 или обоим сразу, составляет: \[ \frac{43}{90} \approx 0.4778 \text{ (или примерно 47.78\%)} \]
