Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения энергии, который гласит, что полная механическая энергия системы остается постоянной, если на неё не действуют внешние силы. В данном случае мы учитываем как кинетическую, так и потенциальную энергии.
Параметры задачи:
- Масса пылинки (m) = 200 мкг = (200 \times 10^{-6}) кг
- Заряд пылинки (Q) = 40 нКл = (40 \times 10^{-9}) Кл
- Разность потенциалов (U) = 200 В
- Конечная скорость (v) = 10 м/с
Начальное состояние:
Когда пылинка не была в электрическом поле, у неё была некоторая скорость (v_0) (которую нам необходимо найти), и её кинетическая энергия была равна:
[
E_{\text{kin, initial}} = \frac{1}{2} m v_0^2
]
Конечное состояние:
После того как пылинка прошла через разность потенциалов, у неё возникла дополнительная энергия из-за работы электрического поля. Энергия, полученная пылинкой, равна:
[
E_{\text{electrical}} = Q U
]
Кроме того, у пылинки теперь есть также кинетическая энергия:
[
E_{\text{kin, final}} = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (10^2) = \frac{1}{2} m \cdot 100
]
Уравнение сохранения энергии:
Согласно закону сохранения энергии, работа электрического поля равна изменению кинетической энергии:
[
E_{\text{kin, final}} - E_{\text{kin, initial}} = E_{\text{electrical}}
]
Подставляем все известные значения:
[
\frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = Q U
]
Теперь подставим известные параметры:
- Расчитаем работу электрического поля:
[
E_{\text{electrical}} = Q U = (40 \times 10^{-9} , \text{Кл}) \cdot (200 , \text{В}) = 8 \times 10^{-6} , \text{Дж}
]
- Подставим это значение в уравнение:
[
\frac{1}{2} m (10)^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 = 8 \times 10^{-6}
]
- Подставляем массу пылинки:
[
\frac{1}{2} (200 \times 10^{-6}) \cdot 100 - \frac{1}{2} (200 \times 10^{-6}) v_0^2 = 8 \times 10^{-6}
]
- Упростим уравнение:
[
10^{-4} - 100 \times 10^{-6} v_0^2 = 8 \times 10^{-6}
]
- Приведем все к одной стороне:
[
10^{-4} - 8 \times 10^{-6} = 100 \times 10^{-6} v_0^2
]
- Вычислим:
[
(10^{-4} - 8 \times 10^{-6}) = 92 \times 10^{-6}
]
- Таким образом:
[
92 \times 10^{-6} = 100 \times 10^{-6} v_0^2
]
- Разделим обе стороны на (100 \times 10^{-6}):
[
v_0^2 = \frac{92}{100} = 0.92
]
- Извлечем корень:
[
v_0 = \sqrt{0.92} \approx 0.96 , \text{м/с}
]
Ответ:
Скорость пылинки до того, как она влетела в поле, составляет примерно 0.96 м/с.
