-9х²≥-8х-1

Для решения неравенства \(-9x² ≥ -8x - 1\) начнем с приведения его к стандартному виду. Для этого мы перенесем все выражения на одну сторону: \[-9x² + 8x + 1 ≥ 0\] Теперь мы можем переписать неравенство следующим образом: \[9x² - 8x - 1 ≤ 0\] Теперь решим квадратное неравенство. ### Шаг 1: Найдем корни соответствующего квадратного уравнения Для нахождения корней уравнения \(9x² - 8x - 1 = 0\) используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \] где \(a = 9\), \(b = -8\), \(c = -1\). Посчитаем дискриминант: \[ D = b² - 4ac = (-8)² - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 \] Теперь подставим значения в формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{8 ± \sqrt{100}}{2 \cdot 9} \] \[ x = \frac{8 ± 10}{18} \] Теперь найдем два корня: 1. \(x_1 = \frac{8 + 10}{18} = \frac{18}{18} = 1\) 2. \(x_2 = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}\) ### Шаг 2: Анализ интервалов Теперь у нас есть два корня \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{1}{9}\). Они делят числовую прямую на три интервала: 1. \( (-\infty, -\frac{1}{9}) \) 2. \( (-\frac{1}{9}, 1) \) 3. \( (1, +\infty) \) Теперь нам нужно определить, в каких из этих интервалов неравенство \(9x² - 8x - 1 ≤ 0\) выполняется. ### Шаг 3: Проверим знаки на этих интервалах 1. **На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{9}) \)** выберем, например, \(x = -1\): \[ 9(-1)² - 8(-1) - 1 = 9 + 8 - 1 = 16 > 0 \] Значит в этом интервале неравенство не выполняется. 2. **На интервале \( (-\frac{1}{9}, 1) \)** выберем, например, \(x = 0\): \[ 9(0)² - 8(0) - 1 = -1 < 0 \] Значит в этом интервале неравенство выполняется. 3. **На интервале \( (1, +\infty) \)** выберем, например, \(x = 2\): \[ 9(2)² - 8(2) - 1 = 36 - 16 - 1 = 19 > 0 \] Значит в этом интервале неравенство не выполняется. ### Шаг 4: Записываем ответ Неравенство \(9x² - 8x - 1 ≤ 0\) выполняется на интервале: \[ -\frac{1}{9} ≤ x ≤ 1 \] Итак, окончательный ответ: \[ x \in \left[-\frac{1}{9}, 1\right] \] Это означает, что решения неравенства находятся в пределах от \(-\frac{1}{9}\) до \(1\) включительно.