-9х²≥-8х-1
Для решения неравенства \(-9x² ≥ -8x - 1\) начнем с приведения его к стандартному виду. Для этого мы перенесем все выражения на одну сторону:
\[-9x² + 8x + 1 ≥ 0\]
Теперь мы можем переписать неравенство следующим образом:
\[9x² - 8x - 1 ≤ 0\]
Теперь решим квадратное неравенство.
Шаг 1: Найдем корни соответствующего квадратного уравнения
Для нахождения корней уравнения \(9x² - 8x - 1 = 0\) используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 9\), \(b = -8\), \(c = -1\).
Посчитаем дискриминант:
\[ D = b² - 4ac = (-8)² - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 \]
Теперь подставим значения в формулу для нахождения корней:
\[ x = \frac{8 ± \sqrt{100}}{2 \cdot 9} \]
\[ x = \frac{8 ± 10}{18} \]
Теперь найдем два корня:
- \(x_1 = \frac{8 + 10}{18} = \frac{18}{18} = 1\)
- \(x_2 = \frac{8 - 10}{18} = \frac{-2}{18} = -\frac{1}{9}\)
Шаг 2: Анализ интервалов
Теперь у нас есть два корня \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -\frac{1}{9}\). Они делят числовую прямую на три интервала:
- \( (-\infty, -\frac{1}{9}) \)
- \( (-\frac{1}{9}, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Теперь нам нужно определить, в каких из этих интервалов неравенство \(9x² - 8x - 1 ≤ 0\) выполняется.
Шаг 3: Проверим знаки на этих интервалах
На интервале \( (-\infty, -\frac{1}{9}) \) выберем, например, \(x = -1\): \[ 9(-1)² - 8(-1) - 1 = 9 + 8 - 1 = 16 > 0 \]
Значит в этом интервале неравенство не выполняется.
На интервале \( (-\frac{1}{9}, 1) \) выберем, например, \(x = 0\): \[ 9(0)² - 8(0) - 1 = -1 < 0 \]
Значит в этом интервале неравенство выполняется.
На интервале \( (1, +\infty) \) выберем, например, \(x = 2\): \[ 9(2)² - 8(2) - 1 = 36 - 16 - 1 = 19 > 0 \]
Значит в этом интервале неравенство не выполняется.
Шаг 4: Записываем ответ
Неравенство \(9x² - 8x - 1 ≤ 0\) выполняется на интервале:
\[ -\frac{1}{9} ≤ x ≤ 1 \]
Итак, окончательный ответ:
\[ x \in \left[-\frac{1}{9}, 1\right] \]
Это означает, что решения неравенства находятся в пределах от \(-\frac{1}{9}\) до \(1\) включительно.
