реши неравенство x²- 2x- 5 < 0

Чтобы решить неравенство \(x^2 - 2x - 5 < 0\), выполним следующие шаги.

Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения

Для начала решим уравнение \(x^2 - 2x - 5 = 0\) с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -5\).

Подставим значения: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 4 + 20 = 24 \]

Шаг 2: Найдем корни уравнения

Корни можно найти по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] Подставляем значения \(D\), \(a\), и \(b\): \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 1 \pm \sqrt{6} \]

Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = 1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{6} \]

Шаг 3: Определим интервал

Корни делят числовую ось на три интервала:

1. \( (-\infty, 1 - \sqrt{6}) \)
2. \( (1 - \sqrt{6}, 1 + \sqrt{6}) \)
3. \( (1 + \sqrt{6}, +\infty) \)

Теперь нам нужно определить знак выражения \(x^2 - 2x - 5\) на этих интервалах.

Шаг 4: Проверим знаки на интервалах

1. Интервал \( (-\infty, 1 - \sqrt{6}) \): Выберем, например, \(x = -1\): \[ (-1)^2 - 2(-1) - 5 = 1 + 2 - 5 = -2 \quad (\text{отрицательное}) \]

2. Интервал \( (1 - \sqrt{6}, 1 + \sqrt{6}) \): Выберем, например, \(x = 1\): \[ 1^2 - 2(1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6 \quad (\text{отрицательное}) \]

3. Интервал \( (1 + \sqrt{6}, +\infty) \): Выберем, например, \(x = 5\): \[ 5^2 - 2(5) - 5 = 25 - 10 - 5 = 10 \quad (\text{положительное}) \]

Шаг 5: Запишем итоговые результаты

Выражение \(x^2 - 2x - 5 < 0\) выполняется на интервалах: \[ (-\infty, 1 - \sqrt{6}) \quad \text{и} \quad (1 - \sqrt{6}, 1 + \sqrt{6}) \]

Поскольку в обоих интервалах знаки отрицательные, можем записать итоговый ответ.

Ответ

\[ x \in (-\infty, 1 - \sqrt{6}) \cup (1 - \sqrt{6}, 1 + \sqrt{6}) \]

Это означает, что неравенство выполняется для всех \(x\) из этих интервалов.