Условие задания: Игра <<Забрось бумажный шарик в стакан>>> Подготовительные работы: 1) скомкать бумагу (можно заменить фольгой) в виде шарика диаметром примерно 3 см; 2) поставить…
Условие задания: Игра <<Забрось бумажный шарик в стакан>>> Подготовительные работы: 1) скомкать бумагу (можно заменить фольгой) в виде шарика диаметром примерно 3 см; 2) поставить стакан на стол; 3) отойти (с шариком и блокнотом с ручкой для записи данных эксперимента) от стола на расстояние 1,5 м. Серия испытаний. 1. Произведи 10 бросков по попаданию шарика в стакан и запиши данные эксперимента в таблицу (1 — есть попадание, 0 - нет). Броски =10 Попадание=3 Промах=7 2. В проведённом испытании к= ? где k - количество успехов в испытании, в данном случае - количество попаданий. 3. Определи по данным испытания: C k/n =C 4. Вычисли вероятность к успехов по формуле Бернулли (с точностью до тысячных): Рn(k) = 5. Первый успех (попадание) случился на ? шаге. 6.Вероятность наступления первого успеха на этом шаге в проведённом испытании (с точностью до тысячных ):P(k)=?
Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом. Исходные данные:
- Мы провели 10 бросков бумажного шарика.
- Попаданий (успехов) — 3.
- Промахов — 7.
Шаг 1: Определяем количество успехов (k)
Количество успехов, k, в данном случае равно количеству попаданий в стакан, то есть: \[ k = 3 \]
Шаг 2: Определяем общее количество попыток (n)
Общее количество попыток, n, у нас задано как 10.
Шаг 3: Вычисляем относительную частоту успеха
Относительная частота успеха определяется как: \[ C = \frac{k}{n} \] Подставляем значения: \[ C = \frac{3}{10} = 0.3 \]
Шаг 4: Вычислим вероятность k успехов по формуле Бернулли
Формула Бернулли для вычисления вероятности точно заданного количества успехов в испытании выглядит следующим образом: \[ P_n(k) = C(k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \] где:
- \( C(k) \) — биномиальный коэффициент, рассчитывается по формуле: \[ C(k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \]
- \( p \) — вероятность успеха в одном броске. Она равна относительной частоте успеха, то есть \( p = C = 0.3 \).
- \( 1 - p = 0.7 \) — вероятность промаха.
Сначала рассчитаем биномиальный коэффициент \( C(3) \): \[ C(3) = \frac{10!}{3! \cdot (10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]
Теперь мы можем подставить всё в формулу Бернулли: \[ P_n(3) = 120 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^{10-3} \] Рассчитаем:
- \( (0.3)^3 = 0.027 \)
- \( (0.7)^7 \approx 0.0823543 \)
Теперь подставим значения: \[ P_n(3) = 120 \cdot 0.027 \cdot 0.0823543 \approx 0.267 \text{ (округлено до тысячных)} \]
Шаг 5: Первый успех (попадание) на каком шаге?
Первый успех может быть на любом из первых 10 бросков. В данном случае у нас 3 попадания, они могут происходить на различных шарах. Если же мы просто хотим узнать, на каком (первом**) шаге произошло первое попадание, то оно произошло на 1, 2, 3… 10 шаге. Например, если первое попадание произошло на 4-ом броске.
Для примера, если первое попадание — на 4-ом броске, это будет: \[ шаг = 4 \]
Шаг 6: Вероятность наступления первого успеха
Вероятность первого успеха на определённом шаге можно определить как: \[ P(k) = (1 - p)^{k-1} \cdot p \] Где \( k \) — номер броска, на котором произошло первое попадание. Если первое попадание произошло на 4-ом шаге, то: \[ P(4) = (0.7)^{3} \cdot (0.3) = 0.7^3 \times 0.3 \approx 0.343 \text{ (округлено до тысячных)} \]
Итоговые результаты:
- Количество попаданий (k) = 3.
- Относительная частота успеха (C) = 0.3.
- Вероятность 3 успехов по формуле Бернулли (P_n(3)) = 0.267.
- Первый успех (попадание) произошел на 4-ом шаге (пример).
- Вероятность первого успеха на 4-ом шаге = 0.343 (пример).
Если у вас есть конкретные данные о последовательности попаданий, то изменение в подсчёте может быть, включая вероятности. Надеюсь, это поможет вам понять задачу!
