Одна из средних линий треугольника отсекает от него трапецию. Найди, сколько процентов от площади треугольника составляет пло щадь этой трапеции

Для решения этой задачи начнём с определения понятий и свойств, связанных с треугольниками и трапециями. ### Шаг 1: Понимание термина "средняя линия" Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Эта линия имеет две важных характеристики: 1. Она параллельна основанию треугольника. 2. Длина средней линии составляет половину длины основания треугольника. ### Шаг 2: Определение площади треугольника Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S_{Triangle} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \] где \(b\) — основание треугольника, а \(h\) — высота. ### Шаг 3: Площадь трапеции Когда средняя линия отсекает от треугольника трапецию, то одна из её сторон (верхняя) равна длине средней линии, а другая сторона (нижняя) равна основанию треугольника. Высота трапеции будет равна половине высоты треугольника, так как верхняя сторона трапеции расположена на середине высоты треугольника (от основания до средней линии). Обозначим: - \(b\) — основание треугольника. - \(h\) — высота треугольника. - \(l\) — длина средней линии, которая равна \(\frac{b}{2}\). Теперь можем записать площадь трапеции по формуле: \[ S_{Trapezium} = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \(a\) и \(b\) — основания трапеции, а \(h\) — высота. Для нашей трапеции: - \(a = \frac{b}{2}\) (длина средней линии), - \(b = b\) (основание треугольника, нижнее основание трапеции), - высота трапеции \(h' = \frac{h}{2}\). ### Шаг 4: Подстановка значений Теперь подставим наши значения в формулу для площади трапеции: \[ S_{Trapezium} = \frac{\left(\frac{b}{2} + b\right) \cdot \frac{h}{2}}{2} \] Упрощая это, получаем: \[ S_{Trapezium} = \frac{\left(\frac{3b}{2}\right) \cdot \frac{h}{2}}{2} = \frac{3bh}{8} \] ### Шаг 5: Теперь вычислим процент Чтобы найти, сколько процентов пло щади трапеции составляет площадь треугольника, делим площади и умножаем на 100: \[ \frac{S_{Trapezium}}{S_{Triangle}} \cdot 100\% = \frac{\frac{3bh}{8}}{\frac{1}{2} b h} \cdot 100\% \] Упрощаем: \[ = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{1}{2}} \cdot 100\% = \frac{3}{8} \cdot 2 \cdot 100\% = \frac{3}{4} \cdot 100\% = 75\% \] ### Ответ Таким образом, площадь трапеции составляет 75% от площади треугольника.