y=2x+5,\\ 2x + 3y = 31 ;
Чтобы решить систему уравнений, содержащую два уравнения с двумя переменными, следуем пошагово. У нас есть следующие уравнения:
- \( y = 2x + 5 \) — первое уравнение.
- \( 2x + 3y = 31 \) — второе уравнение.
Шаг 1: Подстановка
Мы можем использовать метод подстановки, поскольку в первом уравнении уже выражено \( y \) через \( x \). Подставим \( y \) из первого уравнения во второе:
\[ 2x + 3(2x + 5) = 31 \]
Шаг 2: Раскрытие скобок
Распределим \( 3 \) по выражению \( (2x + 5) \):
\[ 2x + 6x + 15 = 31 \]
Шаг 3: Сложение подобных членов
Теперь сложим \( 2x \) и \( 6x \):
\[ 8x + 15 = 31 \]
Шаг 4: Перенос постоянной
Теперь перенесём \( 15 \) на правую сторону уравнения:
\[ 8x = 31 - 15 \] \[ 8x = 16 \]
Шаг 5: Деление на коэффициент перед \( x \)
Теперь разделим обе стороны уравнения на \( 8 \):
\[ x = \frac{16}{8} \] \[ x = 2 \]
Шаг 6: Подставим \( x \) в первое уравнение
Теперь, когда мы знаем значение \( x \), подставим его обратно в первое уравнение, чтобы найти \( y \):
\[ y = 2(2) + 5 \] \[ y = 4 + 5 \] \[ y = 9 \]
Шаг 7: Ответ
Таким образом, мы нашли решение системы уравнений:
- \( x = 2 \)
- \( y = 9 \)
Проверка
Давайте проверим, подходят ли наши значения \( x \) и \( y \) ко второму уравнению:
\[ 2(2) + 3(9) = 31 \] \[ 4 + 27 = 31 \] \[ 31 = 31 \] (верно)
Результат
Решение системы уравнений:
\( x = 2 \) и \( y = 9 \).
Обсуждение
4 сообщения2x + 5y = - 8 ,\\ 2x+3y=-4
Давайте решим систему уравнений:
- \( 2x + 5y = -8 \) (уравнение 1)
- \( 2x + 3y = -4 \) (уравнение 2)
Шаг 1: Подстановка
Мы можем использовать метод вычитания, чтобы исключить \( x \). Для этого вычтем уравнение 2 из уравнения 1:
\[ (2x + 5y) - (2x + 3y) = -8 - (-4) \]
Шаг 2: Упрощение
Упрощая, получаем:
\[ 2y = -8 + 4 \]
\[ 2y = -4 \]
Шаг 3: Деление на коэффициент перед \( y \)
Теперь разделим обе стороны на 2:
\[ y = -2 \]
Шаг 4: Подставим \( y \) в одно из уравнений
Теперь подставим найденное значение \( y \) в одно из исходных уравнений. Возьмем уравнение 2:
\[ 2x + 3(-2) = -4 \]
Это преобразуется в:
\[ 2x - 6 = -4 \]
Шаг 5: Перенос постоянной
Переносим -6 на правую сторону:
\[ 2x = -4 + 6 \] \[ 2x = 2 \]
Шаг 6: Деление на коэффициент перед \( x \)
Теперь делим обе стороны на 2:
\[ x = 1 \]
Шаг 7: Ответ
Таким образом, мы нашли решение системы уравнений:
- \( x = 1 \)
- \( y = -2 \)
Проверка
Давайте проверим, подходят ли наши значения в оба уравнения:
Подставим в уравнение 1: \[ 2(1) + 5(-2) = -8 \] \[ 2 - 10 = -8 \quad \text{(верно)} \]
Подставим в уравнение 2: \[ 2(1) + 3(-2) = -4 \] \[ 2 - 6 = -4 \quad \text{(верно)} \]
Результат
Решение системы уравнений:
\( x = 1 \) и \( y = -2 \).
-3x+7y=29\\ 6x + 5y = 13 ;
Давайте решим систему уравнений:
- \(-3x + 7y = 29\) (уравнение 1)
- \(6x + 5y = 13\) (уравнение 2)
Шаг 1: Умножение для выравнивания коэффициентов
Для удобства, выровняем коэффициенты перед \( x \) в обоих уравнениях. Умножим первое уравнение на 2:
\[ -6x + 14y = 58 \quad \text{(уравнение 3)} \]
Теперь у нас есть:
- \(-6x + 14y = 58\) (уравнение 3)
- \(6x + 5y = 13\) (уравнение 2)
Шаг 2: Сложение уравнений
Теперь сложим уравнение 2 и уравнение 3:
\[ (-6x + 14y) + (6x + 5y) = 58 + 13 \]
Шаг 3: Упрощение
При сложении \( -6x\) и \( 6x\) мы получаем ноль:
\[ 14y + 5y = 71 \]
\[ 19y = 71 \]
Шаг 4: Деление на коэффициент перед \( y \)
Теперь разделим обе стороны на 19:
\[ y = \frac{71}{19} \]
\[ y = 3.736842105263158 \quad \text{(округлим до 2 знаков: } y \approx 3.74\text{)} \]
Шаг 5: Подставляем \( y \) в одно из уравнений
Теперь подставим полученное значение \( y \) в одно из исходных уравнений, например, во второе:
\[ 6x + 5 \left(\frac{71}{19}\right) = 13 \]
Шаг 6: Упрощение
Подсчитаем \( 5 \left(\frac{71}{19}\right) \):
\[ 5 \cdot \frac{71}{19} = \frac{355}{19} \]
Теперь подставляем это в уравнение:
\[ 6x + \frac{355}{19} = 13 \]
Чтобы привести 13 к общему знаменателю 19, запишем 13 как:
\[ 13 = \frac{247}{19} \]
Теперь у нас есть:
\[ 6x + \frac{355}{19} = \frac{247}{19} \]
Шаг 7: Выразим \( x \)
Теперь перенесем \(\frac{355}{19}\) на правую сторону:
\[ 6x = \frac{247}{19} - \frac{355}{19} \]
Считаем далее:
\[ 6x = \frac{247 - 355}{19} \]
\[ 6x = \frac{-108}{19} \]
Шаг 8: Делим на 6
\[ x = \frac{-108}{19 \cdot 6} \]
\[ x = \frac{-108}{114} = -0.9473684210526316 \quad \text{(округлим до 2 знаков: } x \approx -0.95\text{)} \]
Ответ
Таким образом, мы получили приблизительные значения:
- \( x \approx -0.95 \)
- \( y \approx 3.74 \)
Проверка
Проверим эти значения в исходных уравнениях.
Для первого уравнения: \[ -3(-0.95) + 7(3.74) \approx 2.85 + 26.18 \approx 29.03 \quad \text{(не точно)} \]
Для второго уравнения: \[ 6(-0.95) + 5(3.74) \approx -5.7 + 18.7 \approx 13 \quad \text{(верно)} \]
Извините за сложность решения. Попробуем решить систему ещё раз так, чтобы получить более точное значение.
Решение без округлений
Шаг 1: Явное выражение \( y \) из первого уравнения
- \(-3x + 7y = 29\) → \(7y = 3x + 29\) → \(y = \frac{3x + 29}{7}\)
Теперь подставим \(y\) в уравнение 2: 2. \(6x + 5\left(\frac{3x + 29}{7}\right) = 13\)
Шаг 2: Упрощение
Умножаем уравнение на 7 для избавления от дроби:
\[ 7 \cdot 6x + 5(3x + 29) = 7 \cdot 13 \]
\[ 42x + 15x + 145 = 91 \]
Сложим:
\[ 57x + 145 = 91 \]
Шаг 3: Перенос постоянной
\[ 57x = 91 - 145 \]
\[ 57x = -54 \]
Шаг 4: Найдем \( x \)
\[ x = -\frac{54}{57} = -\frac{18}{19} \]
Шаг 5: Подстановка в уравнение для поиска y
Теперь подставим \(x\) в уравнение для \(y\):
\[ y = \frac{3\left(-\frac{18}{19}\right) + 29}{7} \]
Считаем:
\[ y = \frac{-\frac{54}{19} + 29}{7} \]
29 = \(\frac{551}{19}\)
\[ y = \frac{\frac{551 - 54}{19}}{7} = \frac{\frac{497}{19}}{7} = \frac{497}{133} \]
Ответ
Точное решение системы:
- \(x = -\frac{18}{19}\)
- \(y = \frac{497}{133}\)
Теперь значения точны.
