Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Конус с осевым сечением, представляющим собой равносторонний треугольник.
- Радиус основания конуса ( R = 2\sqrt{3} ) см.
Цель:
Найти радиус шара, вписанного в конус.
Шаг 1: Определение высоты конуса
Для начала нам нужно вспомнить, как вытекает высота конуса из информации о его осевом сечении. Осевое сечение следует из равностороннего треугольника, у которого все стороны равны.
В равностороннем треугольнике, если известен радиус основания ( R ), можно найти его высоту. Высота равностороннего треугольника может быть найдена по формуле:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} a
]
где ( a ) — сторона треугольника. Сторона треугольника равна диаметру основания конуса:
[
a = 2R
]
Подставим ( R ):
[
a = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}
]
Теперь можем найти высоту ( h ):
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \text{ см}
]
Шаг 2: Формула для радиуса вписанного шара
Теперь мы можем применить формулу для радиуса шара, вписанного в конус:
[
r = \frac{R \cdot h}{R + \sqrt{R^2 + h^2}}
]
Где:
- ( R ) — радиус основания конуса,
- ( h ) — высота конуса.
Шаг 3: Подстановка значений
Подставим известные значения ( R = 2\sqrt{3} ) и ( h = 6 ):
Сначала найдем ( R^2 ) и ( h^2 ):
[
R^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12
]
[
h^2 = 6^2 = 36
]
Теперь найдем ( R + \sqrt{R^2 + h^2} ):
[
\sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}
]
[
R + \sqrt{R^2 + h^2} = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}
]
Шаг 4: Подсчет радиуса шара
Теперь подставим все в формулу радиуса шара:
[
r = \frac{(2\sqrt{3}) \cdot 6}{6\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = 2 \text{ см}
]
Ответ:
Радиус шара, вписанного в конус, равен ( 2 ) см.
