В конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник, вписан шар. Найдите радиус шара, если радиус основания конуса равен 2корня из 3 см
Давайте решим эту задачу шаг за шагом.
Дано:
- Конус с осевым сечением, представляющим собой равносторонний треугольник.
- Радиус основания конуса \( R = 2\sqrt{3} \) см.
Цель:
Найти радиус шара, вписанного в конус.
Шаг 1: Определение высоты конуса
Для начала нам нужно вспомнить, как вытекает высота конуса из информации о его осевом сечении. Осевое сечение следует из равностороннего треугольника, у которого все стороны равны.
В равностороннем треугольнике, если известен радиус основания \( R \), можно найти его высоту. Высота равностороннего треугольника может быть найдена по формуле:
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]
где \( a \) — сторона треугольника. Сторона треугольника равна диаметру основания конуса:
\[ a = 2R \]
Подставим \( R \):
\[ a = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \]
Теперь можем найти высоту \( h \):
\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 4\sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \text{ см} \]
Шаг 2: Формула для радиуса вписанного шара
Теперь мы можем применить формулу для радиуса шара, вписанного в конус:
\[ r = \frac{R \cdot h}{R + \sqrt{R^2 + h^2}} \]
Где:
- \( R \) — радиус основания конуса,
- \( h \) — высота конуса.
Шаг 3: Подстановка значений
Подставим известные значения \( R = 2\sqrt{3} \) и \( h = 6 \):
Сначала найдем \( R^2 \) и \( h^2 \):
\[ R^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12 \] \[ h^2 = 6^2 = 36 \]
Теперь найдем \( R + \sqrt{R^2 + h^2} \):
\[ \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{12 + 36} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \] \[ R + \sqrt{R^2 + h^2} = 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \]
Шаг 4: Подсчет радиуса шара
Теперь подставим все в формулу радиуса шара:
\[ r = \frac{(2\sqrt{3}) \cdot 6}{6\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{6\sqrt{3}} = 2 \text{ см} \]
Ответ:
Радиус шара, вписанного в конус, равен \( 2 \) см.
