Объём конуса равен 56. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение. Получилось два конуса: мньший и усечённый. Найдите объём усечённого конуса.

Для решения задачи, давайте сначала напомним себе формулу для вычисления объёма конуса и разберёмся с особенностями этой задачи.

Формула объёма конуса

Объём \( V \) конуса можно вычислить по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где:

• \( r \) — радиус основания конуса,
• \( h \) — высота конуса.

Условия задачи

Объём исходного конуса равен 56. Мы знаем, что через середину высоты был проведён срез, что даёт нам меньший конус сверху и усечённый конус (остаток ниже).

Шаг 1: Найдём высоту и радиус исходного конуса

Итак, у нас есть объём конуса \( V = 56 \): \[ 56 = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Поскольку у нас нет значений для радиуса и высоты, мы завершаем объяснение в общем виде. Сначала, давайте обозначим:

• \( R \) — радиус основания исходного конуса,
• \( H \) — высота исходного конуса.

Тогда: \[ 56 = \frac{1}{3} \pi R^2 H \]

Шаг 2: Сечение конуса

Сечение проводится в середине высоты, поэтому высота меньшего конуса составляет \( \frac{H}{2} \).

При этом радиус меньшего конуса (который мы назовём \( r_m \)) будет равен: \[ r_m = \frac{R}{2} \]

Шаг 3: Объём меньшего конуса

Теперь давайте найдём объём меньшего конуса \( V_m \): \[ V_m = \frac{1}{3} \pi (r_m^2) \left(\frac{H}{2}\right) \] Подставим радиус меньшего конуса: \[ V_m = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(\frac{H}{2}\right) = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R^2}{4}\right) \left(\frac{H}{2}\right) = \frac{1}{24} \pi R^2 H \]

Шаг 4: Объём усечённого конуса

Чтобы найти объём усечённого конуса \( V_u \), необходимо вычесть объём меньшего конуса из общего объёма: \[ V_u = V - V_m \]

Подставляем значения: \[ V_u = 56 - \frac{1}{24} \pi R^2 H \] Так как мы знаем, что \( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = 56 \), т.е. \( \pi R^2 H = 168 \):

Теперь можем подставить это в объём меньшего конуса: \[ V_m = \frac{1}{24} \cdot \frac{168}{\pi} = 7 \text{ (объём меньшего конуса)} \]

Итог: Объём усечённого конуса

Таким образом, объём усечённого конуса можно вычислить как: \[ V_u = 56 - 7 = 49 \]

Ответ

Объём усечённого конуса равен 49.