Для решения задачи, давайте сначала напомним себе формулу для вычисления объёма конуса и разберёмся с особенностями этой задачи.
Формула объёма конуса
Объём ( V ) конуса можно вычислить по формуле:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
где:
- ( r ) — радиус основания конуса,
- ( h ) — высота конуса.
Условия задачи
Объём исходного конуса равен 56. Мы знаем, что через середину высоты был проведён срез, что даёт нам меньший конус сверху и усечённый конус (остаток ниже).
Шаг 1: Найдём высоту и радиус исходного конуса
Итак, у нас есть объём конуса ( V = 56 ):
[
56 = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
Поскольку у нас нет значений для радиуса и высоты, мы завершаем объяснение в общем виде. Сначала, давайте обозначим:
- ( R ) — радиус основания исходного конуса,
- ( H ) — высота исходного конуса.
Тогда:
[
56 = \frac{1}{3} \pi R^2 H
]
Шаг 2: Сечение конуса
Сечение проводится в середине высоты, поэтому высота меньшего конуса составляет ( \frac{H}{2} ).
При этом радиус меньшего конуса (который мы назовём ( r_m )) будет равен:
[
r_m = \frac{R}{2}
]
Шаг 3: Объём меньшего конуса
Теперь давайте найдём объём меньшего конуса ( V_m ):
[
V_m = \frac{1}{3} \pi (r_m^2) \left(\frac{H}{2}\right)
]
Подставим радиус меньшего конуса:
[
V_m = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \left(\frac{H}{2}\right)
= \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R^2}{4}\right) \left(\frac{H}{2}\right)
= \frac{1}{24} \pi R^2 H
]
Шаг 4: Объём усечённого конуса
Чтобы найти объём усечённого конуса ( V_u ), необходимо вычесть объём меньшего конуса из общего объёма:
[
V_u = V - V_m
]
Подставляем значения:
[
V_u = 56 - \frac{1}{24} \pi R^2 H
]
Так как мы знаем, что ( V = \frac{1}{3} \pi R^2 H = 56 ), т.е. ( \pi R^2 H = 168 ):
Теперь можем подставить это в объём меньшего конуса:
[
V_m = \frac{1}{24} \cdot \frac{168}{\pi} = 7 \text{ (объём меньшего конуса)}
]
Итог: Объём усечённого конуса
Таким образом, объём усечённого конуса можно вычислить как:
[
V_u = 56 - 7 = 49
]
Ответ
Объём усечённого конуса равен 49.
