Чтобы найти декартовы координаты точки на числовой окружности, соответствующей углу (\frac{\pi}{4}), следуем пошагово.
Шаг 1: Понимание угла
Угол (\frac{\pi}{4}) — это 45 градусов. В радианах угол (\frac{\pi}{4}) соответствует точке на окружности, которая находится в первой четверти, так как он меньше чем (\frac{\pi}{2}) (90 градусов).
Шаг 2: Формулы для декартовых координат
На числовой окружности (или единичной окружности, радиус которой равен 1), декартовы координаты точки ((x, y)) могут быть найдены с использованием следующих тригонометрических функций:
[
x = r \cdot \cos(\theta)
]
[
y = r \cdot \sin(\theta)
]
где (r) — это радиус окружности, а (\theta) — угол.
Шаг 3: Подстановка значений
Поскольку мы работаем с единичной окружностью, радиус (r = 1). Следовательно, мы можем записать:
[
x = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)
]
[
y = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
]
Шаг 4: Вычисление косинуса и синуса угла
Теперь найдем значения (\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)) и (\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)).
Из тригонометрических таблиц или знания тригонометрии:
[
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
[
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Шаг 5: Запись декартовых координат
Теперь подставим эти значения:
[
x = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
[
y = \frac{\sqrt{2}}{2}
]
Таким образом, декартовы координаты точки, соответствующей углу (\frac{\pi}{4}), будут:
[
\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
]
Ответ
Декартовы координаты точки на числовой окружности, соответствующей углу (\frac{\pi}{4}), равны (\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)).
