Нужно отметить точку на числовой окружности, соответствующую углу π:4, и найти её декартовы координаты.

Чтобы найти декартовы координаты точки на числовой окружности, соответствующей углу \(\frac{\pi}{4}\), следуем пошагово.

Шаг 1: Понимание угла

Угол \(\frac{\pi}{4}\) — это 45 градусов. В радианах угол \(\frac{\pi}{4}\) соответствует точке на окружности, которая находится в первой четверти, так как он меньше чем \(\frac{\pi}{2}\) (90 градусов).

Шаг 2: Формулы для декартовых координат

На числовой окружности (или единичной окружности, радиус которой равен 1), декартовы координаты точки \((x, y)\) могут быть найдены с использованием следующих тригонометрических функций:

\[ x = r \cdot \cos(\theta) \] \[ y = r \cdot \sin(\theta) \]

где \(r\) — это радиус окружности, а \(\theta\) — угол.

Шаг 3: Подстановка значений

Поскольку мы работаем с единичной окружностью, радиус \(r = 1\). Следовательно, мы можем записать:

\[ x = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \] \[ y = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \]

Шаг 4: Вычисление косинуса и синуса угла

Теперь найдем значения \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\) и \(\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\).

Из тригонометрических таблиц или знания тригонометрии:

\[ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Шаг 5: Запись декартовых координат

Теперь подставим эти значения:

\[ x = \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ y = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Таким образом, декартовы координаты точки, соответствующей углу \(\frac{\pi}{4}\), будут:

\[ \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

Ответ

Декартовы координаты точки на числовой окружности, соответствующей углу \(\frac{\pi}{4}\), равны \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\).