вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = x2 - 2, у = 3x + 2. построим схематично рисунок. для построения параболы у = x2 - 2 возьмем несколько точек:х|у Для построения…

Чтобы решить задачу, начнем с построения графиков заданных функций и нахождения области их пересечения.

1. Определим функции:

   • Парабола: \(y = x^2 - 2\)
   • Прямая: \(y = 3x + 2\)

2. Построим графики: Для построения графиков, возьмем несколько точек для обеих функций.

   • Для параболы \(y = x^2 - 2\):
     • Если \(x = -2\), то \(y = (-2)^2 - 2 = 2\).
     • Если \(x = -1\), то \(y = (-1)^2 - 2 = -1\).
     • Если \(x = 0\), то \(y = 0^2 - 2 = -2\).
     • Если \(x = 1\), то \(y = 1^2 - 2 = -1\).
     • Если \(x = 2\), то \(y = 2^2 - 2 = 2\).

   Значит, точки: \((-2, 2)\), \((-1, -1)\), \((0, -2)\), \((1, -1)\), \((2, 2)\).

   • Для прямой \(y = 3x + 2\):
     • Если \(x = -1\), то \(y = 3(-1) + 2 = -1\).
     • Если \(x = 0\), то \(y = 3(0) + 2 = 2\).
     • Если \(x = 1\), то \(y = 3(1) + 2 = 5\).

   Значит, точки: \((-1, -1)\), \((0, 2)\), \((1, 5)\).

3. Найдем точки пересечения: Чтобы найти точки пересечения функций, решим систему уравнений: \[ \begin{cases} y = x^2 - 2 \\ y = 3x + 2 \end{cases} \] Подставим второе уравнение в первое: \[ 3x + 2 = x^2 - 2 \] Преобразуем уравнение: \[ x^2 - 3x - 4 = 0 \] Решим данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \] Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два разных корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

   Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

   • Для \(x = -1\): \[ y = 3(-1) + 2 = -1 \]
   • Для \(x = 4\): \[ y = 3(4) + 2 = 14 \]

   Таким образом, точки пересечения: \((-1, -1)\) и \((4, 14)\).

4. Найдем площадь фигуры между кривыми: Площадь, ограниченная графиками, вычисляется по формуле: \[ S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx, \] где \(f(x) = 3x + 2\) (выше) и \(g(x) = x^2 - 2\) (ниже). Пределы интегрирования \(a = -1\) и \(b = 4\).

   Площадь: \[ S = \int_{-1}^{4} ((3x + 2) - (x^2 - 2)) \, dx \] Упростим подынтегральное выражение: \[ S = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) \, dx \]

   Теперь вычислим интеграл: \[ S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x\right]_{-1}^{4} \] Вычислим:

   • При \(x = 4\): \[ -\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot (4^2)}{2} + 4 \cdot 4 = -\frac{64}{3} + 24 + 16 = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} + \frac{48}{3} = \frac{56}{3} \]
   • При \(x = -1\): \[ -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} - \frac{24}{6} = \frac{1}{3} - \frac{15}{6} = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} = \frac{1 - 7.5}{3} = -\frac{6.5}{3} = -\frac{13}{6} \]

   Теперь найдем разность: \[ S \approx \frac{56}{3} - (-\frac{13}{6}) = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} \]

   Приведем к общему знаменателю: \[ S = \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6} \]

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 2\) и \(y = 3x + 2\), равна \(\frac{125}{6}\) квадратных единиц.