вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = x2 - 2, у = 3x + 2. построим схематично рисунок. для построения параболы у = x2 - 2 возьмем несколько точек:х|у
Для построения прямой у 3х + достаточно двух точек:х|у
найдем абсциссы точек м1 и м2 пересечения параболы у = x2 - 2 и прямой у = 3х + 2. для этого решим систему уравнений: (y = x2 - 2 (y = 3x + 2 x1 = x2 найдем площадь полученной фигуры s =
Чтобы решить задачу, начнем с построения графиков заданных функций и нахождения области их пересечения.
1. **Определим функции:**
- Парабола: \(y = x^2 - 2\)
- Прямая: \(y = 3x + 2\)
2. **Построим графики:**
Для построения графиков, возьмем несколько точек для обеих функций.
- Для параболы \(y = x^2 - 2\):
- Если \(x = -2\), то \(y = (-2)^2 - 2 = 2\).
- Если \(x = -1\), то \(y = (-1)^2 - 2 = -1\).
- Если \(x = 0\), то \(y = 0^2 - 2 = -2\).
- Если \(x = 1\), то \(y = 1^2 - 2 = -1\).
- Если \(x = 2\), то \(y = 2^2 - 2 = 2\).
Значит, точки: \((-2, 2)\), \((-1, -1)\), \((0, -2)\), \((1, -1)\), \((2, 2)\).
- Для прямой \(y = 3x + 2\):
- Если \(x = -1\), то \(y = 3(-1) + 2 = -1\).
- Если \(x = 0\), то \(y = 3(0) + 2 = 2\).
- Если \(x = 1\), то \(y = 3(1) + 2 = 5\).
Значит, точки: \((-1, -1)\), \((0, 2)\), \((1, 5)\).
3. **Найдем точки пересечения:**
Чтобы найти точки пересечения функций, решим систему уравнений:
\[
\begin{cases}
y = x^2 - 2 \\
y = 3x + 2
\end{cases}
\]
Подставим второе уравнение в первое:
\[
3x + 2 = x^2 - 2
\]
Преобразуем уравнение:
\[
x^2 - 3x - 4 = 0
\]
Решим данное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[
D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25
\]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два разных корня:
\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4
\]
\[
x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1
\]
Подставим найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) в одно из уравнений, чтобы найти соответствующие значения \(y\):
- Для \(x = -1\):
\[
y = 3(-1) + 2 = -1
\]
- Для \(x = 4\):
\[
y = 3(4) + 2 = 14
\]
Таким образом, точки пересечения: \((-1, -1)\) и \((4, 14)\).
4. **Найдем площадь фигуры между кривыми:**
Площадь, ограниченная графиками, вычисляется по формуле:
\[
S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx,
\]
где \(f(x) = 3x + 2\) (выше) и \(g(x) = x^2 - 2\) (ниже). Пределы интегрирования \(a = -1\) и \(b = 4\).
Площадь:
\[
S = \int_{-1}^{4} ((3x + 2) - (x^2 - 2)) \, dx
\]
Упростим подынтегральное выражение:
\[
S = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) \, dx
\]
Теперь вычислим интеграл:
\[
S = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x\right]_{-1}^{4}
\]
Вычислим:
- При \(x = 4\):
\[
-\frac{4^3}{3} + \frac{3 \cdot (4^2)}{2} + 4 \cdot 4 = -\frac{64}{3} + 24 + 16 = -\frac{64}{3} + \frac{72}{3} + \frac{48}{3} = \frac{56}{3}
\]
- При \(x = -1\):
\[
-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{3 \cdot (-1)^2}{2} + 4 \cdot (-1) = \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4 = \frac{1}{3} + \frac{9}{6} - \frac{24}{6} = \frac{1}{3} - \frac{15}{6} = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} = \frac{1 - 7.5}{3} = -\frac{6.5}{3} = -\frac{13}{6}
\]
Теперь найдем разность:
\[
S \approx \frac{56}{3} - (-\frac{13}{6}) = \frac{56}{3} + \frac{13}{6}
\]
Приведем к общему знаменателю:
\[
S = \frac{112}{6} + \frac{13}{6} = \frac{125}{6}
\]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \(y = x^2 - 2\) и \(y = 3x + 2\), равна \(\frac{125}{6}\) квадратных единиц.
