№ 19877 (Уровень: Базовый) (М. Попков) В информационной системе хранится информация об объектах определённой структуры. Описание каждого объекта включает в себя идентификатор объекта, описание структуры объекта и дополнительную информацию. Идентификатор объекта состоит из 4 заглавных латинских букв. Каждая буква идентификатора кодируется минимально возможным числом битов. Структура объекта описывается как последовательность из 70 простых элементов. Всего существует 1025 различных простых элементов. Каждый простой элемент кодируется одинаковым для всех элементов минимально возможным количеством битов. Для хранения описания каждого объекта выделяется одинаковое для всех объектов минимальное количество байтов, при этом для хранения дополнительной информации выделяется одинаковое для всех объектов целое число байтов. Известно, что для хранения данных о 131 072 объектах потребовалось 24 Мбайт. Сколько байтов выделено для хранения дополнительной информации об одном объекте? В ответе запишите целое число – количество байт

Для решения задачи начнем с анализа данных и распределения информации по объектам. 1. **Идентификатор объекта.** Каждый идентификатор состоит из 4 заглавных латинских букв. Поскольку каждая буква представляет собой один из 26 возможных символов (A-Z), общее количество сочетаний идентификатора можно выразить как: \[ 26^4 = 456976 \] Чтобы закодировать 456976 уникальных идентификаторов, необходимо найти минимальное количество битов, необходимое для их кодирования. Используем формулу для определения необходимого числа бит для кодирования \(N\) уникальных значений: \[ n = \lceil \log_2(N) \rceil \] Подставим \(N = 456976\): \[ n = \lceil \log_2(456976) \rceil \] Находим логарифм: \[ \log_2(456976) \approx 18.8 \] Таким образом, \(n = 19\) бит. Это означает, что для кодирования идентификатора нам нужно 19 бит. 2. **Структура объекта.** Структура объекта состоит из 70 простых элементов, и всего существует 1025 различных простых элементов. Чтобы закодировать 1025 элементов, мы также можем воспользоваться формулой: \[ m = \lceil \log_2(1025) \rceil \] Подсчитаем: \[ \log_2(1025) \approx 10.0 \] Следовательно, \(m = 10\) бит для кодирования каждого простого элемента. Для 70 простых элементов нам нужно: \[ 70 \cdot 10 = 700 \text{ бит} \] 3. **Общие затраты на хранение.** Теперь подсчитаем общее количество бит, начиная от идентификатора и заканчивая структурой: \[ \text{Общее количество бит на один объект} = 19 + 700 = 719 \text{ бит} \] 4. **Преобразование битов в байты.** Поскольку в одном байте 8 бит, количество байт, необходимых для хранения одного объекта: \[ \text{Байты на один объект} = \frac{719 \text{ бит}}{8} \approx 89.875 \] Округляем в большую сторону, чтобы получить целое число: \[ \text{Байты на один объект} = 90 \text{ байт} \] 5. **Общее количество объектов и количество памяти.** Из условия задачи известно, что для хранения данных о 131072 объектах потребовалось 24 Мбайт (или \(24 \times 1024 \times 1024 = 25165824\) байт). Теперь мы можем определить, сколько байтов выделено для хранения дополнительной информации. Совершим расчет общей занимаемой памяти: \[ \text{Память на 131072 объекта} = 131072 \cdot \text{(байты на один объект)} \] Подставим значение: \[ 131072 \cdot 90 = 11796480 \text{ байт} \] 6. **Дополнительная информация.** Тогда количество байтов, выделенных на дополнительную информацию для всех объектов: \[ \text{Общая память} - \text{Память на 131072 объекта} = 25165824 - 11796480 = 13369344 \text{ байт} \] Чтобы найти количество байтов на одно дополнительное инфо: \[ \text{Дополнительная информация на один объект} = \frac{13369344}{131072} = 102 \text{ байта} \] Итак, ответ: \[ \boxed{102} \] Это количество байтов выделено для хранения дополнительной информации об одном объекте.