Чтобы найти уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^2 - 2x^3 + 1 ) в точке ( x_0 = 2 ), следуем таким шагам:
Шаг 1: Найдем значение функции в точке ( x_0 = 2 )
Подставим ( x = 2 ) в уравнение функции:
[
f(2) = 2^2 - 2(2^3) + 1
]
[
= 4 - 2(8) + 1
]
[
= 4 - 16 + 1 = -11
]
Таким образом, точка касания имеет координаты ( (2, -11) ).
Шаг 2: Найдем производную функции
Для нахождения углового коэффициента касательной нам нужна производная функции ( f(x) ):
[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(2x^3) + \frac{d}{dx}(1)
]
[
= 2x - 6x^2
]
Шаг 3: Найдем значение производной в точке ( x_0 = 2 )
Подставим ( x = 2 ) в производную:
[
f'(2) = 2(2) - 6(2^2)
]
[
= 4 - 6(4)
]
[
= 4 - 24 = -20
]
Угловой коэффициент касательной равен -20.
Шаг 4: Используем уравнение касательной
Уравнение касательной к графику функции в точке ( (x_0, f(x_0)) ) можно записать в виде:
[
y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)
]
Подставим найденные значения:
[
y - (-11) = -20(x - 2)
]
[
y + 11 = -20(x - 2)
]
Шаг 5: Преобразуем уравнение
Решим уравнение для ( y ):
[
y + 11 = -20x + 40
]
[
y = -20x + 40 - 11
]
[
y = -20x + 29
]
Ответ
Уравнение касательной к графику функции ( f(x) = x^2 - 2x^3 + 1 ) в точке ( (2, -11) ) имеет вид:
[
y = -20x + 29
]
Это полное и подробное решение задачи. Если есть вопросы или что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
