Чтобы решить задачу, определим, через какое время температура нагревателя превысит 1760 К.
Дано уравнение зависимости температуры от времени:
[ T(t) = T_0 + b t + a t^2 ]
где:
- ( T_0 = 1400 , \text{К} ) (начальная температура),
- ( a = -10 , \text{К/мин}^2 ) (коэффициент, определяющий влияние времени в квадрате),
- ( b = 200 , \text{К/мин} ) (коэффициент, определяющий влияние времени).
Подставим известные значения в уравнение:
[ T(t) = 1400 + 200t - 10t^2 ]
Теперь нам нужно узнать, когда ( T(t) = 1760 , \text{К} ):
[ 1400 + 200t - 10t^2 = 1760 ]
Перепишем уравнение, переместив все элементы на одну сторону:
[ -10t^2 + 200t + 1400 - 1760 = 0 ]
Упростим:
[ -10t^2 + 200t - 360 = 0 ]
Умножим на -1, чтобы сделать уравнение более привычным:
[ 10t^2 - 200t + 360 = 0 ]
Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы:
[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
где:
- ( a = 10 )
- ( b = -200 )
- ( c = 360 )
Сначала найдем дискриминант ( D ):
[ D = b^2 - 4ac = (-200)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 360 = 40000 - 14400 = 25600 ]
Теперь подставим значение дискриминанта в формулу для нахождения корней:
[ t = \frac{200 \pm \sqrt{25600}}{2 \cdot 10} ]
Сначала найдем ( \sqrt{25600} ):
[ \sqrt{25600} = 160 ]
Теперь подставим:
[ t = \frac{200 \pm 160}{20} ]
Это даст нам два значения для ( t ):
- ( t_1 = \frac{200 + 160}{20} = \frac{360}{20} = 18 , \text{мин} )
- ( t_2 = \frac{200 - 160}{20} = \frac{40}{20} = 2 , \text{мин} )
Поскольку температура увеличивается, при достижении 1760 К прибор необходимо отключить не позднее, чем через 18 минут.
Таким образом, ответ: через 18 минут.
