Давайте поочередно решим каждую из заданных задач с пошаговыми объяснениями.
1) Решить неравенство ( x³ > 27 ).
Шаг 1: Перепишем неравенство:
[
x³ > 27
]
Шаг 2: Найдем корень из 27:
[
x > 3
]
Шаг 3: Таким образом, неравенство выполняется, если ( x ) больше 3. Мы можем записать ответ:
[
x > 3.
]
2) Решить уравнение ( 25 = 128 ).
Это уравнение является ложным, так как 25 не равно 128. Таким образом:
Ответ: Уравнение не имеет решений.
3) Вычислить ( \log_1 49.7 ).
Логарифм с основанием 1 не определён, так как ( \log_1 x ) не может быть определён для ( x > 0 ). В общем случае:
Ответ: Логарифм с основанием 1 не определён.
4) На вклад помещены денежные средства в размере ( P ) рублей. Начисления осуществляются по сложной схеме процентов, годовая процентная ставка составляет 15%. Через сколько лет денежные средства увеличатся на 60%?
Шаг 1: Определим, на сколько рублей должно увеличиться начальное значение:
Если деньги увеличиваются на 60%, итоговая сумма будет:
[
S = P + 0.6P = 1.6P.
]
Шаг 2: Используем формулу сложных процентов:
[
S = P(1 + r)^t,
]
где ( r = 0.15 ) (15%), и ( S = 1.6P ).
Шаг 3: Подставим значения и упростим:
[
1.6P = P(1.15)^t.
]
Деля обе стороны на ( P ):
[
1.6 = (1.15)^t.
]
Шаг 4: Теперь примем логарифм:
[
\log(1.6) = t \cdot \log(1.15).
]
Отсюда находим ( t ):
[
t = \frac{\log(1.6)}{\log(1.15)}.
]
Шаг 5: Подставив значения логарифмов, мы можем вычислить ( t ):
[
t \approx \frac{0.2041}{0.0614} \approx 3.33 \text{ года}.
]
Ответ: Примерно через 3.33 года денежные средства увеличатся на 60%.
5) Найти радианную меру угла 40°.
Шаг 1: Сначала вспомним, что в одном полном обороте (360°) содержится ( 2\pi ) радиан.
Шаг 2: Чтобы перевести градусы в радианы, используем формулу:
[
\text{Радианы} = \text{Градусы} \times \frac{\pi}{180°}.
]
Шаг 3: Подставим угол:
[
\text{Радианы} = 40° \times \frac{\pi}{180°} = \frac{40\pi}{180} = \frac{2\pi}{9}.
]
Ответ: Радианная мера угла 40° равна ( \frac{2\pi}{9} ).
6) Решить уравнение ( \cos(2x) = 0.5 ).
Шаг 1: Зная, что ( \cos(\frac{\pi}{3}) = 0.5 ), можем записать:
[
2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad 2x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.
]
Шаг 2: Теперь делим на 2:
[
x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{6} + k\pi.
]
Ответ: ( x = \frac{\pi}{6} + k\pi ) и ( x = -\frac{\pi}{6} + k\pi ), ( k \in \mathbb{Z} ).
