найдите промежутка сонотонности функции y=x^4-4x+4

Для начала давайте определим, что такое промежутки сонотонности функции. Промежутки сонотонности (или интервалы монотонности) — это участки ее графика, где функция возрастает или убывает. Чтобы найти такие промежутки, мы воспользуемся производной функции.

1. Запишем данную функцию:
   \( y = x^4 - 4x + 4 \).

2. Найдем производную функции:
   Найдем \( y' \) (первую производную). Производная функции показывает, как изменяется функция при изменении переменной \( x \). Используя правила дифференцирования, мы получаем: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(4) = 4x^3 - 4. \]

3. Найдем критические точки:
   Чтобы определить интервалы монотонности, необходимо решить уравнение \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4 = 0. \] Делим обе стороны уравнения на 4: \[ x^3 - 1 = 0. \] Откуда \( x^3 = 1 \), то есть \( x = 1 \).

4. Исследуем интервалы:
   Разделим числовую прямую на интервалы по найденной критической точке \( x = 1 \):

   • Интервал 1: \( (-\infty, 1) \)
   • Интервал 2: \( (1, \infty) \)

5. Определим знак производной в каждом интервале:

   • Для интервала \( (-\infty, 1) \) выберем точку \( x = 0 \): \[ y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательное значение}). \] Это означает, что функция убывает на интервале \( (-\infty, 1) \).

   • Для интервала \( (1, \infty) \) выберем точку \( x = 2 \): \[ y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 32 - 4 = 28 \quad (\text{положительное значение}). \] Это указывает на то, что функция возрастает на интервале \( (1, \infty) \).

6. Подведем итоги:
   С помощью производной мы выяснили, что:

   • Функция убывает на интервале \( (-\infty, 1) \).
   • Функция возрастает на интервале \( (1, \infty) \).

Таким образом, промежуток сонотонности функции \( y = x^4 - 4x + 4 \) такой:

• Убывание на \( (-\infty, 1) \).
• Рост на \( (1, \infty) \).