Найдите промежутка сонотонности функции y=x^4-4x+4

Для начала давайте определим, что такое промежутки сонотонности функции. Промежутки сонотонности (или интервалы монотонности) — это участки ее графика, где функция возрастает или убывает. Чтобы найти такие промежутки, мы воспользуемся производной функции. 1. **Запишем данную функцию:** \( y = x^4 - 4x + 4 \). 2. **Найдем производную функции:** Найдем \( y' \) (первую производную). Производная функции показывает, как изменяется функция при изменении переменной \( x \). Используя правила дифференцирования, мы получаем: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4) - \frac{d}{dx}(4x) + \frac{d}{dx}(4) = 4x^3 - 4. \] 3. **Найдем критические точки:** Чтобы определить интервалы монотонности, необходимо решить уравнение \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 4 = 0. \] Делим обе стороны уравнения на 4: \[ x^3 - 1 = 0. \] Откуда \( x^3 = 1 \), то есть \( x = 1 \). 4. **Исследуем интервалы:** Разделим числовую прямую на интервалы по найденной критической точке \( x = 1 \): - Интервал 1: \( (-\infty, 1) \) - Интервал 2: \( (1, \infty) \) 5. **Определим знак производной в каждом интервале:** - Для интервала \( (-\infty, 1) \) выберем точку \( x = 0 \): \[ y'(0) = 4(0)^3 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательное значение}). \] Это означает, что функция убывает на интервале \( (-\infty, 1) \). - Для интервала \( (1, \infty) \) выберем точку \( x = 2 \): \[ y'(2) = 4(2)^3 - 4 = 32 - 4 = 28 \quad (\text{положительное значение}). \] Это указывает на то, что функция возрастает на интервале \( (1, \infty) \). 6. **Подведем итоги:** С помощью производной мы выяснили, что: - Функция убывает на интервале \( (-\infty, 1) \). - Функция возрастает на интервале \( (1, \infty) \). Таким образом, промежуток сонотонности функции \( y = x^4 - 4x + 4 \) такой: - Убывание на \( (-\infty, 1) \). - Рост на \( (1, \infty) \).