Реши

Для решения задачи необходимо найти натуральные числа \( x \), для которых выполняется условие: \[ 4^{x-1} \leq x^2 \leq 4^x \] 1. **Первое неравенство: \( 4^{x-1} \leq x^2 \):** Это можно переписать как: \[ \frac{4^x}{4} \leq x^2 \] Умножив на \( 4 \), получим: \[ 4^x \leq 4x^2 \] Методом подбора проверим небольшие значения \( x \): - Для \( x = 1 \): \[ 4^0 = 1,\quad 1^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq 1 \] Выполняется. - Для \( x = 2 \): \[ 4^1 = 4,\quad 2^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad 4 \leq 4 \] Выполняется. - Для \( x = 3 \): \[ 4^2 = 16,\quad 3^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad 16 \leq 9 \] Не выполняется. Первое неравенство удовлетворяется для \( x = 1 \) и \( x = 2 \). 2. **Второе неравенство: \( x^2 \leq 4^x \):** Проверка для \( x = 1 \) и \( x = 2 \): - Для \( x = 1 \): \[ 1^2 \leq 4^1 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq 4 \] Выполняется. - Для \( x = 2 \): \[ 2^2 \leq 4^2 \quad \Rightarrow \quad 4 \leq 16 \] Выполняется. - Для \( x = 3 \): \[ 3^2 \leq 4^3 \quad \Rightarrow \quad 9 \leq 64 \] Выполняется. Второе неравенство выполняется для \( x = 1, 2, 3 \) и более. Таким образом, общее решение для системы неравенств, где оба условия выполняются, это \( x = 1 \) и \( x = 2 \). **Ответ:** \( x = 1, 2 \).