Реши

Для решения задачи необходимо найти натуральные числа \( x \), для которых выполняется условие:

\[ 4^{x-1} \leq x^2 \leq 4^x \]

1. Первое неравенство: \( 4^{x-1} \leq x^2 \):

   Это можно переписать как:

   \[ \frac{4^x}{4} \leq x^2 \]

   Умножив на \( 4 \), получим:

   \[ 4^x \leq 4x^2 \]

   Методом подбора проверим небольшие значения \( x \):

   • Для \( x = 1 \): \[ 4^0 = 1,\quad 1^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq 1 \] Выполняется.

   • Для \( x = 2 \): \[ 4^1 = 4,\quad 2^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad 4 \leq 4 \] Выполняется.

   • Для \( x = 3 \): \[ 4^2 = 16,\quad 3^2 = 9 \quad \Rightarrow \quad 16 \leq 9 \] Не выполняется.

   Первое неравенство удовлетворяется для \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

2. Второе неравенство: \( x^2 \leq 4^x \):

   Проверка для \( x = 1 \) и \( x = 2 \):

   • Для \( x = 1 \): \[ 1^2 \leq 4^1 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq 4 \] Выполняется.

   • Для \( x = 2 \): \[ 2^2 \leq 4^2 \quad \Rightarrow \quad 4 \leq 16 \] Выполняется.

   • Для \( x = 3 \): \[ 3^2 \leq 4^3 \quad \Rightarrow \quad 9 \leq 64 \] Выполняется.

   Второе неравенство выполняется для \( x = 1, 2, 3 \) и более.

Таким образом, общее решение для системы неравенств, где оба условия выполняются, это \( x = 1 \) и \( x = 2 \).

Ответ: \( x = 1, 2 \).