дан прямоугольник ABC причем угол 90° известно что косинус B 1/3 AB 9 найдите BC
Чтобы найти длину стороны \( BC \) прямоугольника \( ABC \) с углом \( 90^\circ \) и данными \( \cos B = \frac{1}{3} \) и \( AB = 9 \), следуем следующим шагам:
Понять, что такое косинус:
В треугольнике косинус угла \( B \) определяется как отношение длины прилежащей стороны (в нашем случае \( AB \)) к длине гипотенузы (в нашем случае \( AC \)). Соответственно, мы можем записать:
\[ \cos B = \frac{AB}{AC} \]Подставим известные значения:
Из условия задачи мы знаем, что: \[ \cos B = \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad AB = 9 \] Подставляем значения в формулу: \[ \frac{9}{AC} = \frac{1}{3} \]Найдем длину гипотенузы \( AC \):
Перепишем уравнение: \[ 9 = \frac{1}{3} \cdot AC \] Умножим обе стороны на 3: \[ AC = 9 \cdot 3 = 27 \]Используем теорему Пифагора:
В прямоугольном треугольнике ABC с углом \( 90^\circ \) по теореме Пифагора справедливо: \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] Подставляем известные значения: \[ 9^2 + BC^2 = 27^2 \] Это дает: \[ 81 + BC^2 = 729 \]Решим уравнение для \( BC^2 \):
Переносим 81: \[ BC^2 = 729 - 81 = 648 \]Найдем \( BC \):
Теперь находим длину стороны \( BC \): \[ BC = \sqrt{648} \] Упрощаем корень: \[ \sqrt{648} = \sqrt{81 \cdot 8} = 9\sqrt{8} = 9 \cdot 2\sqrt{2} = 18\sqrt{2} \]
Таким образом, длина стороны \( BC \) равна \( 18\sqrt{2} \).
