Даны два события А и В, и известны некоторые вероятности: P(A) = 0,2, P(B) = 0,8 и P(A N В) = 0,15. Во всех четырёх фигурах на диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих событий.
№2. Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды».
a) Являются ли эти события независимыми?
б) найдите вероятность объединения этих событий.
№3. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в каждом одном автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,06. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется ровно в одном из автоматов. На диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих событий.
Давайте разберем каждую задачу по отдельности, с детальными объяснениями.
### Задача 1: Вероятности событий А и В
Даны следующие вероятности:
- \(P(A) = 0,2\)
- \(P(B) = 0,8\)
- \(P(A \cap B) = 0,15\) (пересечение событий A и B)
Для построения диаграммы Эйлера, нужно определить вероятности для каждого сегмента:
1. **Вероятность только A (не B)**:
\[
P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) = 0,2 - 0,15 = 0,05
\]
2. **Вероятность только B (не A)**:
\[
P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B) = 0,8 - 0,15 = 0,65
\]
3. **Вероятность одновременно A и B (пересечение)**:
\[
P(A \cap B) = 0,15
\]
4. **Вероятность события, когда ни A, ни B не происходят**:
Общая вероятность событий:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,2 + 0,8 - 0,15 = 0,85
\]
Следовательно,
\[
P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,85 = 0,15
\]
Теперь мы можем записать:
- \(P(A \setminus B) = 0,05\)
- \(P(B \setminus A) = 0,65\)
- \(P(A \cap B) = 0,15\)
- \(P(\text{не } A \text{ и не } B) = 0,15\)
### Задача 2: Броски монеты
#### a) Проверка на независимость событий
События:
- \(E_1\): «в первый раз выпал орёл»
- \(E_2\): «решка выпала дважды»
Сначала определим вероятность события \(E_1\). Для этого разберём все варианты бросков 3 раз:
- ОÖÖ
- ОOР
- OРO
- OРР
- РOÖ
- РOР
- РРO
- РРР
Из возможных исходов, первый раз орёл выпадает с вероятностью \(P(E_1) = \frac{4}{8} = 0,5\). Теперь определяем \(P(E_2)\):
- Возможные варианты, в которых решка выпала дважды: \(OОР\), \(OOO\), \(OПП\) и т.д. насчитывают \(3\) исхода. Следовательно:
\[
P(E_2) = \frac{3}{8} = 0,375
\]
Теперь определим совмещение событий:
\[
P(E_1 \cap E_2) = P(\text{орёл в первом броске и решка дважды}) = P(\text{ОΟР, OПO}) = \frac{2}{8} = 0,25
\]
События независимы, если:
\[
P(E_1 \cap E_2) = P(E_1) * P(E_2)
\]
Проверим:
\[
0,25 = 0,5 * 0,375
\]
Поскольку это не так, события не являются независимыми.
#### b) Найдите вероятность объединения событий
Теперь вычислим вероятность объединения событий:
\[
P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) - P(E_1 \cap E_2)
\]
\[
P(E_1 \cup E_2) = 0,5 + 0,375 - 0,25 = 0,625
\]
### Задача 3: Кофейные автоматы
Даны вероятности:
- \(P(A) = 0,2\) (кофе закончится в одном автомате),
- \(P(B) = 0,2\) (кофе закончится во втором автомате),
- \(P(A \cap B) = 0,06\) (кофе закончится в обоих автоматах).
Нужно найти вероятность того, что кофе останется ровно в одном из автоматов. Это сумма вероятностей, когда:
1. Кофе закончится только в первом автомате (\(A\)),
2. Кофе закончится только во втором автомате (\(B\)).
1. Вероятность, что кофе закончится только в первом автомате:
\[
P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) = 0,2 - 0,06 = 0,14
\]
2. Вероятность, что кофе закончится только во втором автомате:
\[
P(B \setminus A) = P(B) - P(A \cap B) = 0,2 - 0,06 = 0,14
\]
Суммируем эти вероятности:
\[
P(\text{кофе останется ровно в одном автомате}) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A) = 0,14 + 0,14 = 0,28
\]
Теперь можно составить диаграмму Эйлера для событий, где:
- Событие A забирает 0,14 (только A),
- Событие B забирает 0,14 (только B),
- Пересечение A и B (кофе кончилось в обоих) составляет 0,06,
- Вероятность, когда кофе остался в обеих автоматах, равна:
\[
P(\text{не } A \text{ и не } B) = 0,64 \text{ (осталось в обоих)}
\]
Надеюсь, это решение было вам полезно и даст понимание материалов. Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
