№2. Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». a) Являются ли эти события независимыми? б) найдите вероятность объединения этих событий.

Для того чтобы решить задачу, воспользуемся основами теории вероятностей. Давайте разберёмся с двумя событиями: 1. **Событие A:** "В первый раз выпал орёл". 2. **Событие B:** "Решка выпала дважды". ### а) Проверим, являются ли события независимыми События A и B независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] **Шаг 1: Найдём \( P(A) \)** Когда мы бросаем симметричную монету в первый раз, вероятность того, что выпадет орёл, равна: \[ P(A) = \frac{1}{2} \] **Шаг 2: Найдём \( P(B) \)** Событие B происходит, если среди трёх бросков два раза выпала решка и один раз — орёл. Это событие может произойти разными способами, например: - Р(Р(О)), то есть «решка, решка, орёл» - Р(О(Р)), то есть «решка, орёл, решка» - О(Р(Р)), то есть «орёл, решка, решка» Число способов, которыми может выпасть два раза решка (и соответственно один раз орёл) определяется по формуле биномиального распределения: \[ P(B) = C(3, 2) \cdot (p)^2 \cdot (1-p)^1 \] где: - \( C(3, 2) \) — количество способов выбрать 2 броска из 3 (это равно 3), - \( p = \frac{1}{2} \) — вероятность того, что выпадет решка. Подставляем значения: \[ P(B) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \] **Шаг 3: Найдём \( P(A \cap B) \)** Теперь нам нужно найти вероятность того, что "в первый раз выпал орёл" и "решка выпала дважды". В этом случае первым должен быть орёл, а среди оставшихся двух бросков должны быть две решки. Существует только один способ, чтобы это произошло: О(Р(Р)). Таким образом, вероятность этого события: \[ P(A \cap B) = P(O) \cdot P(Р \text{ и } Р) = P(O) \cdot P(Р) \cdot P(Р) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \] **Шаг 4: Проверка независимости** Теперь проверим равенство: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \] Подставляя значения, получим: \[ \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \] Так как \( \frac{1}{8} \) не равно \( \frac{3}{16} \), события A и B **не являются независимыми**. ### б) Найдём вероятность объединения этих событий Вероятность объединения событий A и B можно найти по формуле: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Теперь подставляем значения: 1. \( P(A) = \frac{1}{2} \) 2. \( P(B) = \frac{3}{8} \) 3. \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \) Теперь подставляем в формулу: \[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \] Преобразуем \( \frac{1}{2} \) в восьмые доли: \[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \] ### Ответы: a) События не являются независимыми. б) Вероятность объединения событий \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \).