№2. Симметричную монету бросают 3 раза. Рассмотрите события «в первый раз выпал орёл» и «решка выпала дважды». a) Являются ли эти события независимыми? б) найдите вероятность…

Для того чтобы решить задачу, воспользуемся основами теории вероятностей. Давайте разберёмся с двумя событиями:

1. Событие A: "В первый раз выпал орёл".
2. Событие B: "Решка выпала дважды".

а) Проверим, являются ли события независимыми

События A и B независимы, если вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Шаг 1: Найдём \( P(A) \)

Когда мы бросаем симметричную монету в первый раз, вероятность того, что выпадет орёл, равна:

\[ P(A) = \frac{1}{2} \]

Шаг 2: Найдём \( P(B) \)

Событие B происходит, если среди трёх бросков два раза выпала решка и один раз — орёл. Это событие может произойти разными способами, например:

• Р(Р(О)), то есть «решка, решка, орёл»
• Р(О(Р)), то есть «решка, орёл, решка»
• О(Р(Р)), то есть «орёл, решка, решка»

Число способов, которыми может выпасть два раза решка (и соответственно один раз орёл) определяется по формуле биномиального распределения:

\[ P(B) = C(3, 2) \cdot (p)^2 \cdot (1-p)^1 \]

где:

• \( C(3, 2) \) — количество способов выбрать 2 броска из 3 (это равно 3),
• \( p = \frac{1}{2} \) — вероятность того, что выпадет решка.

Подставляем значения:

\[ P(B) = 3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

Шаг 3: Найдём \( P(A \cap B) \)

Теперь нам нужно найти вероятность того, что "в первый раз выпал орёл" и "решка выпала дважды". В этом случае первым должен быть орёл, а среди оставшихся двух бросков должны быть две решки.

Существует только один способ, чтобы это произошло: О(Р(Р)). Таким образом, вероятность этого события:

\[ P(A \cap B) = P(O) \cdot P(Р \text{ и } Р) = P(O) \cdot P(Р) \cdot P(Р) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]

Шаг 4: Проверка независимости

Теперь проверим равенство:

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]

Подставляя значения, получим:

\[ \frac{1}{8} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{16} \]

Так как \( \frac{1}{8} \) не равно \( \frac{3}{16} \), события A и B не являются независимыми.

б) Найдём вероятность объединения этих событий

Вероятность объединения событий A и B можно найти по формуле:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

Теперь подставляем значения:

1. \( P(A) = \frac{1}{2} \)
2. \( P(B) = \frac{3}{8} \)
3. \( P(A \cap B) = \frac{1}{8} \)

Теперь подставляем в формулу:

\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} \]

Преобразуем \( \frac{1}{2} \) в восьмые доли:

\[ P(A \cup B) = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4 + 3 - 1}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Ответы:

a) События не являются независимыми.
б) Вероятность объединения событий \( P(A \cup B) = \frac{3}{4} \).