Для нахождения математического ожидания суммы двух независимых случайных величин ( A ) и ( B ) можно использовать свойство линейности математического ожидания:
[
E[A + B] = E[A] + E[B]
]
Найдем ( E[A] ):
Случайная величина ( A ) распределена равномерно на интервале от 2 до 5. Математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины вычисляется по формуле:
[
E[A] = \frac{a + b}{2}
]
где ( a ) и ( b ) — границы интервала. В данном случае ( a = 2 ) и ( b = 5 ):
[
E[A] = \frac{2 + 5}{2} = \frac{7}{2} = 3.5
]
Найдем ( E[B] ):
Случайная величина ( B ) принимает значения 1, 4 и 6 с вероятностями 0,3, 0,4 и 0,3 соответственно. Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается по формуле:
[
E[B] = \sum_{i} p_i \cdot x_i
]
где ( p_i ) — вероятность, а ( x_i ) — значение. Подставим данные значения:
[
E[B] = 0.3 \cdot 1 + 0.4 \cdot 4 + 0.3 \cdot 6
]
Посчитаем каждый из членов суммы:
- ( 0.3 \cdot 1 = 0.3 )
- ( 0.4 \cdot 4 = 1.6 )
- ( 0.3 \cdot 6 = 1.8 )
Теперь сложим полученные значения:
[
E[B] = 0.3 + 1.6 + 1.8 = 3.7
]
Теперь найдем ( E[A + B] ):
Теперь у нас есть значения ( E[A] ) и ( E[B] ):
[
E[A + B] = E[A] + E[B] = 3.5 + 3.7 = 7.2
]
Таким образом, математическое ожидание суммы случайных величин ( A ) и ( B ) равно ( 7.2 ).
