Для решения задачи о трубах нужно ввести переменные и составить уравнения.
Пусть ( x ) литров в минуту пропускает вторая труба. Тогда первая труба пропускает ( x - 2 ) литров в минуту.
Время, за которое вторая труба заполнит резервуар объемом 70 литров:
[
\frac{70}{x}
]
Для первой трубы время будет на 4 минуты больше, то есть:
[
\frac{70}{x - 2} = \frac{70}{x} + 4
]
Решим уравнение:
[
\frac{70}{x - 2} = \frac{70}{x} + 4
]
Умножим все на ( x(x-2) ) для избавления от дробей:
[
70x = 70(x - 2) + 4x(x - 2)
]
Раскроем скобки:
[
70x = 70x - 140 + 4x^2 - 8x
]
Упростим уравнение:
[
0 = 4x^2 - 8x - 140
]
Разделим каждое слагаемое на 4:
[
x^2 - 2x - 35 = 0
]
Решим квадратное уравнение. Найдем корни с помощью дискриминанта:
[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144
]
Корни:
[
x = \frac{2 \pm \sqrt{144}}{2}
]
[
x = \frac{2 \pm 12}{2}
]
Получаем два корня:
[
x_1 = 7, \quad x_2 = -5
]
Отрицательный корень нас не устраивает, значит, вторая труба пропускает 7 литров в минуту.
Первая труба пропускает:
[
7 - 2 = 5 \text{ литров в минуту.}
]
Таким образом, первая труба пропускает 5 литров воды в минуту.
