Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12. Найти гипотенузу треугольника подобного данному если его площадь 480

Для решения задачи мы будем использовать свойства прямоугольного треугольника и формулу для вычисления его площади.

Шаг 1: Найдем гипотенузу исходного треугольника

В прямоугольном треугольнике с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\) справедливо следующее соотношение по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

В нашем случае катеты равны:

• \(a = 5\)
• \(b = 12\)

Теперь подставим значения:

\[ c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Гипотенуза исходного треугольника равна 13.

Шаг 2: Найдем площадь исходного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Подставим значения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \]

Площадь исходного треугольника равна 30.

Шаг 3: Определим коэффициент подобия

У нас есть подобный треугольник, площадь которого равна 480. Чтобы найти коэффициент подобия, используем соотношение между площадями подобного треугольника и оригинала:

\[ \frac{S_2}{S_1} = k^2 \]

где:

• \(S_1\) — площадь исходного треугольника (30),
• \(S_2\) — площадь подобного треугольника (480),
• \(k\) — коэффициент подобия.

Подставляем площади в формулу:

\[ \frac{480}{30} = k^2 \]

Решим это уравнение:

\[ 16 = k^2 \] \[ k = \sqrt{16} = 4 \]

Коэффициент подобия равен 4.

Шаг 4: Найдем гипотенузу подобного треугольника

Гипотенуза подобного треугольника будет равна гипотенузе исходного треугольника, умноженной на коэффициент подобия:

\[ c_2 = c_1 \cdot k \]

Подставим значения:

\[ c_2 = 13 \cdot 4 = 52 \]

Ответ

Гипотенуза подобного треугольника равна 52.