5.26. tgx+2ctgx = 3; 5.22. 2sin² x + 3cos x = 0 5.27. 6sin² x + 5cos x - 2 = 0 5.23. 2ctgx-3tgx-5=0; 5.28. 2sin² x - 3cos x - 3 = 0 5.24. 4cos² x - 4sin x - 1 = 0 5.29. 2cos² x + sin x - 1 = 0 5.25. 2cos² x - 5sin x - 5 = 0 5.30. tgx+5ctgx+6=0. решить заменой, по дискриминанту

Решим все представленные уравнения поочередно, используя замену и дискриминант, где это возможно. ### 5.26. \( \tan x + 2 \cot x = 3 \) **Шаг 1.** Воспользуемся заменой \( \tan x = t \), тогда \( \cot x = \frac{1}{t} \). **Шаг 2.** Подставим в уравнение: \[ t + 2 \cdot \frac{1}{t} = 3 \] **Шаг 3.** Умножим на \( t \) (при \( t \neq 0 \)): \[ t^2 + 2 = 3t \] **Шаг 4.** Перепишем в стандартной форме и решим квадратное уравнение: \[ t^2 - 3t + 2 = 0 \] **Шаг 5.** Найдем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \] **Шаг 6.** Найдем корни: \[ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow t_1 = 2, \, t_2 = 1 \] **Шаг 7.** Обратим замену \( \tan x = t \): \[ \tan x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) + k\pi \\ \tan x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \, (k \in \mathbb{Z}) \] --- ### 5.22. \( 2sin^2 x + 3cos x = 0 \) **Шаг 1.** Используем замену: \( cos x = u \), тогда \( sin^2 x = 1 - u^2 \). **Шаг 2.** Подставим в уравнение: \[ 2(1 - u^2) + 3u = 0 \] **Шаг 3.** Упростим: \[ 2 - 2u^2 + 3u = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u^2 - 3u - 2 = 0 \] **Шаг 4.** Найдем дискриминант: \[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] **Шаг 5.** Найдем корни: \[ u_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4} \Rightarrow u_1 = 2, \, u_2 = -\frac{1}{2} \] **Шаг 6.** Обратим замену: 1. \( cos x = 2 \): решения нет, так как \( |u| \leq 1 \). 2. \( cos x = -\frac{1}{2} \): \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \, (k \in \mathbb{Z}) \] --- ### 5.27. \( 6\sin^2 x + 5cos x - 2 = 0 \) **Шаг 1.** Аналогично заменим \( cos x = u \): \[ 6(1 - u^2) + 5u - 2 = 0 \] **Шаг 2.** Упростим: \[ -6u^2 + 5u + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 6u^2 - 5u - 4 = 0 \] **Шаг 3.** Найдем дискриминант: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 \] **Шаг 4.** Найдем корни: \[ u_{1,2} = \frac{5 \pm 11}{12} \Rightarrow u_1 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}, \, u_2 = -\frac{1}{3} \] **Шаг 5.** Обратим замену: 1. \( cos x = \frac{4}{3} \): нет решений. 2. \( cos x = -\frac{1}{3} \): \[ x = \arccos(-\frac{1}{3}) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\arccos(-\frac{1}{3}) + 2k\pi \, (k \in \mathbb{Z}) \] --- ### 5.23. \( 2ctg x - 3tg x - 5 = 0 \) **Шаг 1.** Заменим: \( tg x = t \Rightarrow ctg x = \frac{1}{t} \). **Шаг 2.** Подставим: \[ 2 \cdot \frac{1}{t} - 3t - 5 = 0 \] **Шаг 3.** Умножим на \( t \): \[ 2 - 3t^2 - 5t = 0 \quad \Rightarrow \quad 3t^2 + 5t - 2 = 0 \] **Шаг 4.** Найдем дискриминант: \[ D = (5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] **Шаг 5.** Найдем корни: \[ t_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{6} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{3}, \, t_2 = -2 \] **Шаг 6.** Обратим замену: 1. \( tg x = \frac{1}{3} \): \[ x = \arctan\left( \frac{1}{3} \right) + k\pi \] 2. \( tg x = -2 \): \[ x = \arctan(-2) + k\pi \] --- ### 5.28. \( 2\sin^2 x - 3cos x - 3 = 0 \) **Шаг 1.** Используя замену \( cos x = u \): \[ 2(1 - u^2) - 3u - 3 = 0 \] **Шаг 2.** Упростим: \[ -2u^2 - 3u - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u^2 + 3u + 1 = 0 \] **Шаг 3.** Найдем дискриминант: \[ D = (3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \] **Шаг 4.** Найдем корни: \[ u_{1,2} = \frac{-3 \pm 1}{4} \Rightarrow u_1 = -\frac{1}{2}, \, u_2 = -1 \] **Шаг 5.** Обратим замену: 1. \( cos x = -\frac{1}{2} \): \[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \] 2. \( cos x = -1 \): \[ x = \pi + 2k\pi \] --- ### 5.24. \( 4\cos^2 x - 4\sin x - 1 = 0 \) **Шаг 1.** Используем замену \( sin x = u \Rightarrow cos^2 x = 1 - u^2 \): \[ 4(1 - u^2) - 4u - 1 = 0 \] **Шаг 2.** Упростим: \[ -4u^2 - 4u + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4u^2 + 4u - 3 = 0 \] **Шаг 3.** Найдем дискриминант: \[ D = (4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \] **Шаг 4.** Найдем корни: \[ u_{1,2} = \frac{-4 \pm 8}{8} \Rightarrow u_1 = \frac{1}{2}, \, u_2 = -\frac{3}{2} \] **Шаг 5.** Обратим замену: 1. \( sin x = \frac{1}{2} \): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] 2. \( sin x = -\frac{3}{2} \): нет решений, так как \( |u| \leq 1 \). --- ### 5.29. \( 2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0 \) **Шаг 1.** Используем замену \( sin x = u \Rightarrow cos^2 x = 1 - u^2 \): \[ 2(1 - u^2) + u - 1 = 0 \] **Шаг 2.** Упростим: \[ -2u^2 + u + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u^2 - u - 1 = 0 \] **Шаг 3.** Найдем дискриминант: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] **Шаг 4.** Найдем корни: \[ u_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow u_1 = 1, \, u_2 = -\frac{1}{2} \] **Шаг 5.** Обратим замену: 1. \( sin x = 1 \): \[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] 2. \( sin x = -\frac{1}{2} \): \[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \] --- ### 5.25. \( 2\cos^2 x - 5\sin x - 5 = 0 \) **Шаг 1.** Используем замену \( sin x = u \): \[ 2(1 - u^2) - 5u - 5 = 0 \] **Шаг 2.** Упростим: \[ -2u^2 - 5u - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u^2 + 5u + 3 = 0 \] **Шаг 3.** Найдем дискриминант: \[ D = (5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \] **Шаг 4.** Найдем корни: \[ u_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{4} \Rightarrow u_1 = -1, \, u_2 = -\frac{3}{2} \] **Шаг 5.** Обратим замену: 1. \( sin x = -1 \): \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \] 2. \( sin x = -\frac{3}{2} \): нет решений, так как \( |u| \leq 1 \). --- ### 5.30. \( \tan x + 5 \cot x + 6 = 0 \) **Шаг 1.** Заменим: \( \tan x = t \Rightarrow \cot x = \frac{1}{t} \): \[ t + 5 \cdot \frac{1}{t} + 6 = 0 \] **Шаг 2.** Умножим на \( t \) (при \( t \neq 0 \)): \[ t^2 + 5 + 6t = 0 \] **Шаг 3.** Перепишем уравнение: \[ t^2 + 6t + 5 = 0 \] **Шаг 4.** Найдем дискриминант: \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \] **Шаг 5.** Найдем корни: \[ t_{1,2} = \frac{-6 \pm 4}{2} \Rightarrow t_1 = -1, \, t_2 = -5 \] **Шаг 6.** Обратим замену: 1. \( \tan x = -1 \): \[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \] 2. \( \tan x = -5 \): \[ x = \arctan(-5) + k\pi \] --- Это все уравнения! Если что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!