5.26. tgx+2ctgx = 3; 5.22. 2sin² x + 3cos x = 0 5.27. 6sin² x + 5cos x - 2 = 0 5.23. 2ctgx-3tgx-5=0; 5.28. 2sin² x - 3cos x - 3 = 0 5.24. 4cos² x - 4sin x - 1 = 0 5.29. 2cos² x +…
5.26. tgx+2ctgx = 3; 5.22. 2sin² x + 3cos x = 0 5.27. 6sin² x + 5cos x - 2 = 0 5.23. 2ctgx-3tgx-5=0; 5.28. 2sin² x - 3cos x - 3 = 0 5.24. 4cos² x - 4sin x - 1 = 0 5.29. 2cos² x + sin x - 1 = 0 5.25. 2cos² x - 5sin x - 5 = 0 5.30. tgx+5ctgx+6=0. решить заменой, по дискриминанту
Решим все представленные уравнения поочередно, используя замену и дискриминант, где это возможно.
5.26. \( \tan x + 2 \cot x = 3 \)
Шаг 1. Воспользуемся заменой \( \tan x = t \), тогда \( \cot x = \frac{1}{t} \).
Шаг 2. Подставим в уравнение:
\[ t + 2 \cdot \frac{1}{t} = 3 \]
Шаг 3. Умножим на \( t \) (при \( t \neq 0 \)):
\[ t^2 + 2 = 3t \]
Шаг 4. Перепишем в стандартной форме и решим квадратное уравнение:
\[ t^2 - 3t + 2 = 0 \]
Шаг 5. Найдем дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]
Шаг 6. Найдем корни:
\[ t_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2} \Rightarrow t_1 = 2, \, t_2 = 1 \]
Шаг 7. Обратим замену \( \tan x = t \):
\[ \tan x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \arctan(2) + k\pi \\ \tan x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi \, (k \in \mathbb{Z}) \]
5.22. \( 2sin^2 x + 3cos x = 0 \)
Шаг 1. Используем замену: \( cos x = u \), тогда \( sin^2 x = 1 - u^2 \).
Шаг 2. Подставим в уравнение:
\[ 2(1 - u^2) + 3u = 0 \]
Шаг 3. Упростим:
\[ 2 - 2u^2 + 3u = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u^2 - 3u - 2 = 0 \]
Шаг 4. Найдем дискриминант:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]
Шаг 5. Найдем корни:
\[ u_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4} \Rightarrow u_1 = 2, \, u_2 = -\frac{1}{2} \]
Шаг 6. Обратим замену:
- \( cos x = 2 \): решения нет, так как \( |u| \leq 1 \).
- \( cos x = -\frac{1}{2} \):
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \, (k \in \mathbb{Z}) \]
5.27. \( 6\sin^2 x + 5cos x - 2 = 0 \)
Шаг 1. Аналогично заменим \( cos x = u \):
\[ 6(1 - u^2) + 5u - 2 = 0 \]
Шаг 2. Упростим:
\[ -6u^2 + 5u + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad 6u^2 - 5u - 4 = 0 \]
Шаг 3. Найдем дискриминант:
\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121 \]
Шаг 4. Найдем корни:
\[ u_{1,2} = \frac{5 \pm 11}{12} \Rightarrow u_1 = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}, \, u_2 = -\frac{1}{3} \]
Шаг 5. Обратим замену:
- \( cos x = \frac{4}{3} \): нет решений.
- \( cos x = -\frac{1}{3} \):
\[ x = \arccos(-\frac{1}{3}) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\arccos(-\frac{1}{3}) + 2k\pi \, (k \in \mathbb{Z}) \]
5.23. \( 2ctg x - 3tg x - 5 = 0 \)
Шаг 1. Заменим: \( tg x = t \Rightarrow ctg x = \frac{1}{t} \).
Шаг 2. Подставим:
\[ 2 \cdot \frac{1}{t} - 3t - 5 = 0 \]
Шаг 3. Умножим на \( t \):
\[ 2 - 3t^2 - 5t = 0 \quad \Rightarrow \quad 3t^2 + 5t - 2 = 0 \]
Шаг 4. Найдем дискриминант:
\[ D = (5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \]
Шаг 5. Найдем корни:
\[ t_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{6} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{3}, \, t_2 = -2 \]
Шаг 6. Обратим замену:
- \( tg x = \frac{1}{3} \):
\[ x = \arctan\left( \frac{1}{3} \right) + k\pi \]
- \( tg x = -2 \):
\[ x = \arctan(-2) + k\pi \]
5.28. \( 2\sin^2 x - 3cos x - 3 = 0 \)
Шаг 1. Используя замену \( cos x = u \):
\[ 2(1 - u^2) - 3u - 3 = 0 \]
Шаг 2. Упростим:
\[ -2u^2 - 3u - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u^2 + 3u + 1 = 0 \]
Шаг 3. Найдем дискриминант:
\[ D = (3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]
Шаг 4. Найдем корни:
\[ u_{1,2} = \frac{-3 \pm 1}{4} \Rightarrow u_1 = -\frac{1}{2}, \, u_2 = -1 \]
Шаг 5. Обратим замену:
- \( cos x = -\frac{1}{2} \):
\[ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi \]
- \( cos x = -1 \):
\[ x = \pi + 2k\pi \]
5.24. \( 4\cos^2 x - 4\sin x - 1 = 0 \)
Шаг 1. Используем замену \( sin x = u \Rightarrow cos^2 x = 1 - u^2 \):
\[ 4(1 - u^2) - 4u - 1 = 0 \]
Шаг 2. Упростим:
\[ -4u^2 - 4u + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 4u^2 + 4u - 3 = 0 \]
Шаг 3. Найдем дискриминант:
\[ D = (4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 \]
Шаг 4. Найдем корни:
\[ u_{1,2} = \frac{-4 \pm 8}{8} \Rightarrow u_1 = \frac{1}{2}, \, u_2 = -\frac{3}{2} \]
Шаг 5. Обратим замену:
- \( sin x = \frac{1}{2} \):
\[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \]
- \( sin x = -\frac{3}{2} \): нет решений, так как \( |u| \leq 1 \).
5.29. \( 2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0 \)
Шаг 1. Используем замену \( sin x = u \Rightarrow cos^2 x = 1 - u^2 \):
\[ 2(1 - u^2) + u - 1 = 0 \]
Шаг 2. Упростим:
\[ -2u^2 + u + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u^2 - u - 1 = 0 \]
Шаг 3. Найдем дискриминант:
\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \]
Шаг 4. Найдем корни:
\[ u_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4} \Rightarrow u_1 = 1, \, u_2 = -\frac{1}{2} \]
Шаг 5. Обратим замену:
- \( sin x = 1 \):
\[ x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \]
- \( sin x = -\frac{1}{2} \):
\[ x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi \]
5.25. \( 2\cos^2 x - 5\sin x - 5 = 0 \)
Шаг 1. Используем замену \( sin x = u \):
\[ 2(1 - u^2) - 5u - 5 = 0 \]
Шаг 2. Упростим:
\[ -2u^2 - 5u - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad 2u^2 + 5u + 3 = 0 \]
Шаг 3. Найдем дискриминант:
\[ D = (5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 \]
Шаг 4. Найдем корни:
\[ u_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{4} \Rightarrow u_1 = -1, \, u_2 = -\frac{3}{2} \]
Шаг 5. Обратим замену:
- \( sin x = -1 \):
\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \]
- \( sin x = -\frac{3}{2} \): нет решений, так как \( |u| \leq 1 \).
5.30. \( \tan x + 5 \cot x + 6 = 0 \)
Шаг 1. Заменим: \( \tan x = t \Rightarrow \cot x = \frac{1}{t} \):
\[ t + 5 \cdot \frac{1}{t} + 6 = 0 \]
Шаг 2. Умножим на \( t \) (при \( t \neq 0 \)):
\[ t^2 + 5 + 6t = 0 \]
Шаг 3. Перепишем уравнение:
\[ t^2 + 6t + 5 = 0 \]
Шаг 4. Найдем дискриминант:
\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \]
Шаг 5. Найдем корни:
\[ t_{1,2} = \frac{-6 \pm 4}{2} \Rightarrow t_1 = -1, \, t_2 = -5 \]
Шаг 6. Обратим замену:
- \( \tan x = -1 \):
\[ x = \frac{3\pi}{4} + k\pi \]
- \( \tan x = -5 \):
\[ x = \arctan(-5) + k\pi \]
Это все уравнения! Если что-то непонятно, не стесняйтесь спрашивать!
