В прямоугольном треугольнике используются основные тригонометрические функции для определения сторон треугольника.
a) Когда (b = 20), (\angle B = 45^\circ):
В этом случае прямоугольный треугольник является равнобедренным, так как угол (B) равен (45^\circ). Это значит, что катеты равны:
( a = b = 20 ) (другой катет).
Гипотенуза (c) можно найти с помощью теоремы Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}.
]
b) Когда (b = 10), (\angle B = 60^\circ):
Используем тригонометрическую функцию синуса для нахождения другого катета (a):
[
\sin(B) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{10}{\sin(60^\circ)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}}.
]
Теперь используем косинус для нахождения другого катета (a):
[
\cos(B) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \cos(B) = \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{\sqrt{3}}.
]
Итак, другие катеты и гипотенуза:
- Другой катет (a = \frac{10}{\sqrt{3}}),
- Гипотенуза (c = \frac{20}{\sqrt{3}}).
в) Когда (b = 4\sqrt{3}), (\angle B = 30^\circ):
Используем аналогичные расчёты.
Гипотенза (c):
[
c = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3}.
]
Другой катет (a):
[
\cos(B) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \cos(B) = 8\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12.
]
Итак, для третьего случая:
- Другой катет (a = 12),
- Гипотенуза (c = 8\sqrt{3}).
Подводя итоги:
a) (a = 20), (c = 20\sqrt{2})
b) (a = \frac{10}{\sqrt{3}}), (c = \frac{20}{\sqrt{3}})
в) (a = 12), (c = 8\sqrt{3})
