В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен Ъ, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: a) b =20, <B = 45°; 6) b =10, <B= 60°;…

В прямоугольном треугольнике используются основные тригонометрические функции для определения сторон треугольника.

a) Когда \(b = 20\), \(\angle B = 45^\circ\): В этом случае прямоугольный треугольник является равнобедренным, так как угол \(B\) равен \(45^\circ\). Это значит, что катеты равны:

\( a = b = 20 \) (другой катет).

Гипотенуза \(c\) можно найти с помощью теоремы Пифагора: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 20^2} = \sqrt{400 + 400} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2}. \]

b) Когда \(b = 10\), \(\angle B = 60^\circ\): Используем тригонометрическую функцию синуса для нахождения другого катета \(a\): \[ \sin(B) = \frac{b}{c} \Rightarrow c = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{10}{\sin(60^\circ)} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{20}{\sqrt{3}}. \]

Теперь используем косинус для нахождения другого катета \(a\): \[ \cos(B) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \cos(B) = \frac{20}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{\sqrt{3}}. \]

Итак, другие катеты и гипотенуза:

• Другой катет \(a = \frac{10}{\sqrt{3}}\),
• Гипотенуза \(c = \frac{20}{\sqrt{3}}\).

в) Когда \(b = 4\sqrt{3}\), \(\angle B = 30^\circ\): Используем аналогичные расчёты.

1. Гипотенза \(c\): \[ c = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin(30^\circ)} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{3}. \]

2. Другой катет \(a\): \[ \cos(B) = \frac{a}{c} \Rightarrow a = c \cdot \cos(B) = 8\sqrt{3} \cdot \cos(30^\circ) = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12. \]

Итак, для третьего случая:

• Другой катет \(a = 12\),
• Гипотенуза \(c = 8\sqrt{3}\).

Подводя итоги:

a) \(a = 20\), \(c = 20\sqrt{2}\)
b) \(a = \frac{10}{\sqrt{3}}\), \(c = \frac{20}{\sqrt{3}}\)
в) \(a = 12\), \(c = 8\sqrt{3}\)